지수함수, 로그함수 및 삼각함수의 미분

어휘

English	의미
inner rate/ˈɪnə reɪt/	내부 함수의 변화율

입력 주파수가 두 배인 파동은 초기 기울기가 더 가파릅니다. 도함수에 어떤 인자가 포함되어야 합니까?

입력 주파수가 두 배인 파동은 초기 기울기가 더 가파릅니다. 도함수에 어떤 인자가 포함되어야 합니까?
이 수업에서는 내부 속도를 다룹니다: 합성 함수 내부의 변하는 입력의 도함수입니다.

수학적 구조 선택하기

상수 k와 a>0에 대해: (e^(kx))′=k e^(kx), (a^(kx))′=k ln(a)a^(kx), (sin kx)′=k cos kx, (cos kx)′=−k sin kx, (tan kx)′=k sec²(kx)이며, 여기서 sec u=1/cos u입니다. 삼각함수 입력은 라디안 단위입니다. (ln x)′=1/x for x>0입니다. 미분된 항들을 더하고 계수를 유지하십시오.
계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.

연습

왜 a^(kx)를 미분할 때 ln a와 k라는 인자가 모두 필요한가?

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인자 k만으로는 충분하지 않음
ln a는 a=e일 때만 적용됨
a^(kx)=e^(kx ln a)이므로 연쇄 법칙에 의해 내부 속도 k ln a가 내려옴

검증된 사례를 풀이해 보기

$$(a^{kx})^{\prime}=k\ln(a)a^{kx},\quad(\tan kx)^{\prime}=k\sec^2(kx),\quad(\ln x)^{\prime}=\frac1x$$

시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.

Example

x>0이고 cos(x/2)≠0인 경우, f=2e^(3x)+3^(2x)−4lnx+sin2x−2cos3x+tan(x/2)라 하자. 그러면 f′=6e^(3x)+2ln3·3^(2x)−4/x+2cos2x+6sin3x+(1/2)sec²(x/2)이다. 항 −2cos3x는 계수와 미분값의 부호 모두 음수이므로, 양의 6sin3x를 생성한다. g=5^(−2x)인 경우, g′=−2ln5·5^(−2x)이므로 g′(0)=−2ln5이다. h=sin2x−2cos3x+tan(x/2)인 경우, h′(0)=2+0+1/2=5/2이다. p=2e^(3x)인 경우, p′(0)=6이다. 기저 a=1은 상수 1과 미분값 0을 주며, k=0 역시 상수 함수를 생성한다.

탐색하기

지수함수, 로그함수 및 삼각함수의 미분

상수 k와 a>0에 대해: (e^(kx))′=k e^(kx), (a^(kx))′=k ln(a)a^(kx), (sin kx)′=k cos kx, (cos kx)′=−k sin kx, (tan kx)′=k sec²(kx)이며, 여기서 sec u=1/cos u입니다.

미분 규칙을 선택하고 모든 계수, 내부 변화율 및 입력 제한 조건을 유지하십시오.

연습

p=2e^(3x)일 때, p′(0)를 구하십시오.

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유혹적인 단축법을 시험해 보십시오

지수함수의 베이스는 상수이지만 지수는 변합니다: a^(kx)는 k뿐만 아니라 ln a도 필요합니다. ln x의 도함수는 ln x/x가 아니라 1/x입니다. 탄젠트는 cos(kx)=0인 곳에서 정의되지 않으며, 도함수에도 이러한 제외 사항이 유지됩니다. 라디안 단위의 도함수 공식은 각도 변수에 대해 π/180 인자가 필요합니다. 음수 k는 내부 속도의 부호를 변경하며, 사라져서는 안 됩니다.
단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.

Watch out

양수 a에 대해 a^(kx)의 미분은 k a^(kx)입니다. 이 주장은 틀렸습니다. 이 주장이 위반하는 정의나 가정을 설명하십시오.

연습

주어진 예제 h에 대해 h′(0)를 구하십시오.

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연습

모든 양의的底 a에 대해, a^(kx)의 미분은 k a^(kx)입니다.

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새로운 상황을 해석하십시오

함수 계열을 식별하고 계수를 유지하며, 외함수를 미분한 뒤 k를 곱합니다. 점에서의 값 계산 전에 로그와 탄젠트의 정의역 제외 조건을 나열합니다. 증가/감소 지수함수나 국소 파동 방향과 부호를 비교합니다. 선형 결합의 미분은 항끼리 곱하는 것이 아니라 더하여 얻습니다.
완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.

연습

y=ln x일 때, x=4에서의 미분계수를 구하십시오.

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연습

각 함수를 그에 맞는 미분 결과와 매칭하세요.

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매치 하나를 선택한 후 목적지를 지정하세요. 매치를 두 개 선택하여 교체할 수 있습니다. Esc 키를 누르면 선택이 취소됩니다. 매치를 드래그하여 이동할 수도 있습니다.

k e^(kx)

1/x (x>0일 때)

k cos kx

e^(kx)
ln x
sin kx

과정에 활용하십시오

7357 · A-level · G. 연수 확장 문제를 배정하기 전에 목표Tier와 교육 과정(specification)에 맞춰 택하십시오.
최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.

Key idea

합성함수의 내부 변경 입력에 대한 미분입니다. 관계를 선택하고, 방법을 제시하며, 그 가정을 확인하고 결과를 해석하십시오.