유계 지수 미분 및 유효 도메인
도입됨| English | 의미 |
|---|---|
| rational power/ˈræʃənl ˈpaʊə/ | 유리수 지수 |
제곱근 곡선은 0에서 유한한 높이를 가지지만 그 근처에서는 무한한 기울기를 가집니다. 왜 도함수에는 자체적인 정의역이 있어야 합니까?
- 제곱근 곡선은 0에서 유한한 높이를 가지지만 그 근처에서는 무한한 기울기를 가집니다. 왜 도함수에는 자체적인 정의역이 있어야 합니까?
- 이 수업에서는 유계 지수를 다룹니다: 정수의 분수로 표현할 수 있으며 유효한 실근으로 해석되는 지수입니다.
수학적 구조 선택하기
- 유계 지수 p에 대해, 실함수가 정의되고 미분 가능한 곳에서는 d(x^p)/dx = p x^(p−1)입니다. 상수 계수를 곱하고, 항별로 더하기와 빼기의 도함수를 구하십시오. 상수의 도함수는 0입니다. 루트와 역수를 지수 형태로 바꾼 후 지수에서 1을 뺍니다. 양의 x는 모든 유계 지수에 유효하지만, 음수와 0은 별도의 검사가 필요합니다.
- 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.
√x는 x=0에서 정의된다. 왜 도함수가 유한하지 않은가?
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함수의 점에서의 존재성은 유한한 도함수를 보장하지 않는다: √x의 0에서의 차분 비는 1/√h이며 발산한다. f의 정의역과 f′의 정의역은 별도로 확인해야 한다.
검증된 사례를 풀이해 보기
- 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.
x>0일 때, f=3√x−4/x+1/√x이므로 f′=(3/2)x^(−1/2)+4x^(−2)−(1/2)x^(−3/2)이다. x=4에서 이 값은 3/4+1/4−1/16=15/16이다. q=x^(2/3)=(cube root x)²에 대해 음수 x도 허용되며, q′=(2/3)x^(−1/3) for x≠0이므로 q′(−8)=−1/3이다. 0에서 q는 갈라미(cusp)를 가지며, 차이 비 |h|^(2/3)/h는 서로 반대 부호로 발산한다. r=x^(4/3)에 대해 [r(h)−r(0)]/h=cube root h는 0으로 수렴하므로 r′(0)=0이다. 따라서 분수 지수는 자동으로 0을 도함수 영역에서 제외하지 않는다.
유계 지수 미분 및 유효 도메인
유리 지수 p에 대해, 실수 함수가 정의되고 미분 가능한 곳에서는 d(x^p)/dx = p x^(p−1)입니다.
미분 규칙을 선택하고 모든 계수, 내부 변화율 및 입력 제한 조건을 유지하십시오.
해설된 f에 대해 f′(4)를 구하십시오.
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(3/2)/2+4/16−(1/2)/8=15/16.
유혹적인 단축법을 시험해 보십시오
- 원래 루트의 정의역과 도함수의 정의역은 다를 수 있습니다. √x는 x=0에서 정의되지만, 1/(2√x)는 그곳에서 유한한 값을 가지지 않으며; 1/√x는 그곳에서 아예 정의되지 않습니다. 실수 음의 베이스는 기약된 유계 지수여야 하며 분모가 홀수여야 합니다. x<0일 때, x^(2/3)는 실수 세제곱근의 제곱을 의미하며, 유효하지 않은 실수 로그 계산이 아닙니다. 역수의 도함수를 구할 때 같은 지수를 유지하거나 마이너스 부호를 제거해서는 안 됩니다.
- 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.
0에서 정의된 모든有理指数函数在那里都有有限的导数。这个说法是错误的。请说明它违反了哪个定义或假设。
x^(2/3)에 대해 x=−8일 때의 미분값을 구하십시오.
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−8의 실수 세제곱근은 −2이며, (2/3)/(−2)=−1/3입니다.
영에서 정의된 모든 유리 지수 함수는 그 점에서 유한한 미분계수를 가집니다.
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원래의 근사 영역과 미분계수 영역은 다를 수 있습니다. √x는 x=0에서 정의되지만, 1/(2√x)는 그 점에서 유한한 값을 가지지 않으며, 1/√x는 아예 정의되지 않습니다. 실수 음수 베이스에는 기약된 유리 지수(분모가 홀수)가 필요합니다. x<0일 때, x^(2/3)는 무효한 실수 로그 계산이 아니라, 실수 세제곱근의 제곱을 의미합니다. 역함수의 미분 시 지수를 그대로 두거나 마이너스 부호를 제거하지 마십시오.
새로운 상황을 해석하십시오
- 먼저 원래 정의역을 명시하고, 각 항을 다시 쓰고, 계수에 지수를 곱한 뒤 지수에서 1을 뺍니다. 요청되면 루트로 되돌아오십시오. 공식적 도함수가 정의되지 않거나 결론이 나지 않을 때는 원래 차분 비로 경계 입력값을 확인하십시오. 최종 평가까지 정확한 분수 계수를 유지하십시오.
- 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.
x^(4/3)에 대해 x=0일 때의 미분값을 구하십시오.
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원래의 차분 계수는 h의 실수 세제곱근이며, 이는 0으로 수렴합니다.
각 지수 변환에 대한 도함수를 매칭하시오.
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근호와 역수를 먼저 지수 형태로 변환한 후, 계수와 함께 px^(p-1)를 적용하십시오; 지수는 정확히 하나씩 줄어듭니다.
과정에 활용하십시오
- 7357 · A-level · G. 연수 확장 문제를 배정하기 전에 목표Tier와 교육 과정(specification)에 맞춰 택하십시오.
- 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.
정수의 분수로 표현할 수 있으며 유효한 실근으로 해석되는 지수입니다. 관계성을 선택하고, 방법을 제시하며, 가정을 확인하고 결과를 해석하십시오.