연쇄법칙, 곱셈 법칙, 나눗셈 법칙 및 암묵적 미분
도입됨| English | 의미 |
|---|---|
| chain rule/tʃeɪn ruːl/ | 연쇄법칙 |
내부 식도 변하고 있는가?
- 비용 곡선은 변하는 식의 거듭제곱 형태입니다. 외부 거듭제곱만 미분하면 입력 변수의 변화율을 놓치게 됩니다.
- 이 수업에서는 합성함수의 미분법(chain rule) 을 다룹니다. 합성함수에 대해 외부 미분값과 내부 미분값을 곱하는 규칙입니다.
수학적 구조 선택하기
- y=f(g(x))인 경우, y prime=f prime(g(x))g prime(x)입니다. uv에 대해서는 u prime v+uv prime로 미분합니다. u/v에 대해서는 (u prime v-uv prime)/v²를 사용하며, 여기서 v≠0입니다.
- 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.
왜 x·eˣ의 도함수가 단순히 1·eˣ가 아닐까요?
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각 인자가 모두 변하므로 두 가지 모두 기여합니다: u=x, v=eˣ라고 하면 곱의 미분법(u′v+uv′)에 의해 eˣ+xeˣ가 됩니다. 개별 도함수의 곱을 취하면 uv′ 항이 사라집니다.
검증된 사례를 풀이해 보기
- 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.
y=(3x+1)^4인 경우, y prime=4(3x+1)^3×3=12(3x+1)^3입니다. x=0일 때 기울기는 12입니다. x²+y²=25에 대해 미분하면: 2x+2y y prime=0이므로, y≠0일 때 y prime=-x/y입니다.
연쇄법칙, 곱셈 법칙, 나눗셈 법칙 및 암묵적 미분
y=f(g(x))일 때, y'=f'(g(x))g'(x)입니다.
모델과 풀이 사례를 비교하여 하나의 변화를 설명하시오.
(3x+1)^4의 미분식을 x=0일 때 구하시오.
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연쇄 법칙에 의해 4(3x+1)³×3; x=0일 때 이 값은 12입니다.
유혹적인 단축법을 시험해 보십시오
- 곱의 미분값은 미분값들의 곱이 아닙니다. 암묵적 미분에서 y에 대한 모든 미분 함수는 dy/dx 인자를 포함합니다. 분모의 미분에서는 분모가 제곱됩니다.
- 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.
u(x)v(x)의 도함수는 항상 u prime times v prime입니다. 이 주장은 틀렸습니다. 이 주장이 위반하는 정의나 가정을 설명하십시오.
x²+y²=25일 때, (3,4)에서의 dy/dx를 구하십시오.
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명시적 미분法에 의해 2x+2y y' =0이므로, y'=-3/4입니다.
함수 u(x)v(x)의 도함수는 항상 u'(x)v'(x)와 같습니다.
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곱의 도함수는 각 도함수의 곱과 같지 않습니다. 명시적 미분에서 y에 대한 모든 미분된 함수는 dy/dx 인자를 가집니다. 분모의 제곱을 취합니다.
새로운 상황을 해석하십시오
- 미분하기 전에 유용한 형태로 선택하십시오: 짧은 다항식을 전개하는 것이 더 쉬울 수 있습니다. 관련 변화율(related rates) 문제에서는 기호로 관계를 세우고, 시간에 대해 미분한 후 측정된 값을 대입하십시오.
- 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.
y=xe^x일 때, x=0에서의 dy/dx를 구하시오.
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곱의 미분법에 의해 e^x+xe^x가 되며, x=0일 때 이 값은 1입니다.
각 규칙을 해당 상황에 매핑하십시오.
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합성함수는 외측 및 내측 도함수를 연결하며, 곱의 법칙은 u′v+uv′를 더하고, 암묵적 관계는 미분된 y항마다 dy/dx 인자를 추가합니다.
과정에 활용하십시오
- 7357 · A-level · G. 연수 확장 문제를 배정하기 전에 목표Tier와 교육 과정(specification)에 맞춰 택하십시오.
- 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.
합성함수의 외미분과 내미분을 곱하는 규칙입니다. 관계성을 선택하고, 방법을 제시하며, 가정을 검증하고 결과를 해석하십시오.