미분과 정지점(정지점)

어휘

English	의미
derivative/dɪˈrɪvətɪv/	미분계수

한 점에서의 기울기는 무엇인가?

y=ax^n인 경우, dy/dx=anx^(n-1)입니다. 정지점(stationary point)은 dy/dx=0을 만족합니다. 미분값의 부호 변화나 비영일 때의 이계도함수를 확인하여 분류하십시오.
계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.

연습

x=0에서 곡선 y=x³의 dy/dx=0입니다. 왜 이것이 극대값이나 극소값이 아닐까요?

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$$\frac{d}{dx}(ax^n)=anx^{n-1},\qquad f^{\prime}(x)=0$$

Example

y=x³-3x인 경우, dy/dx=3x²-3입니다. x=1일 때 기울기는 0이고 y=-2입니다. 이차 도함수는 6x로, x=1에서 양수이므로 이는 국소 최소점입니다. x=-1일 때 y=2이며 이차 도함수는 음수이므로 국소 최대점을 줍니다.

탐색하기

y=ax^n인 경우, dy/dx=anx^(n-1)

모델과 풀이 사례를 비교하여 하나의 변화를 설명하시오.

연습

y=x³-3x인 곡선에서 x=2일 때 dy/dx를 구하시오.

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도함수가 0이라는 것이 항상 극대 또는 극소를 의미하지는 않습니다: y=x³은 0에서 정지하지만 계속 증가합니다. 또한, 제한된 정의역에서 끝점이 극값을 생성할 수도 있습니다.
단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.

Watch out

도함수가 0인 모든 점은 국소 극대 또는 극소입니다. 이 주장은 틀렸습니다. 이 주장이 위반하는 정의나 가정을 설명하십시오.

연습

x=1인 정지점의 y좌표를 구하시오.

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연습

미분값이 0인 모든 점은 국소 최댓값 또는 최솟값입니다.

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GCSE/IGCSE에서는 허용된 계수 범위 내에서만 다룹니다. 여기서 합성함수, 곱, 나눗의 미분법(chain, product, quotient rules)을 추가하지 마십시오. 고등 수준에서는 미분값을 변화율 및 최적화 문제와 유효한 정의역으로 연결하십시오.
완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.

연습

y=4x³인 곡선에서 x=2일 때 dy/dx를 구하시오.

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연습

각 도함수 사실을 해당 서술과 매칭하십시오.

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매치 하나를 선택한 후 목적지를 지정하세요. 매치를 두 개 선택하여 교체할 수 있습니다. Esc 키를 누르면 선택이 취소됩니다. 매치를 드래그하여 이동할 수도 있습니다.

anx^(n-1)

dy/dx=0인 곳

국소 최솟값

7357 · A-level · G. 연수 확장 문제를 배정하기 전에 목표Tier와 교육 과정(specification)에 맞춰 택하십시오.
최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.

Key idea

순간 변화율, 즉 접선의 기울기입니다. 관계식을 선택하고, 방법을 제시하며, 가정을 확인하고 결과를 해석하십시오.