Logarithm laws, negative powers and equation domains
도입됨| English | 의미 |
|---|---|
| argument/ˈɑːɡjuːmənt/ | 인수 |
두 개의 로그를 합칠 때 여분의 근을 가진 다항식이 생성될 수 있습니다. 어떤 원래 입력 조건이 이를 거절합니까?
- 두 개의 로그를 합칠 때 여분의 근을 가진 다항식이 생성될 수 있습니다. 어떤 원래 입력 조건이 이를 거절합니까?
- 이 수업은 인수(argument) 를 다룹니다: 로그 안쪽의 입력값으로, 실수 로그의 경우 양수여야 합니다.
수학적 구조 선택하기
- a>0, a≠1이고 양수 u,v에 대해: log_a(uv)=log_a u+log_a v, log_a(u/v)=log_a u−log_a v, 그리고 log_a(u^k)=k log_a u (실수 k). 이들은 지수 곱하기/ 나누기/ 제곱 규칙에서 따릅니다. 특히 k=−1는 역수를, k=−1/2는 역제곱근을 의미합니다. b>0인 a^x=b를 풀려면 x=ln b/ln a를 사용합니다.
- 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.
ln(x-1)+ln(x+1)=ln 8 gives x²=9. Why is x=-3 rejected?
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The original equation requires x-1>0 and x+1>0, so x>1. The combined form ln(x²-1) accepts -3, but that candidate fails the original arguments - always check candidates upstream.
검증된 사례를 풀이해 보기
- 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.
x>0일 때, ln(x^(-1))=−ln x이고 ln(x^(-1/2))=−(1/2)ln x입니다. ln(x−1)+ln(x+1)=ln8를 풀이하십시오: 원래 정의역은 x>1입니다. 결합하면 ln(x²−1)=ln8이므로, x²=9이며 후보는 ±3입니다. 원본 인자에 만족하는 것은 오직 x=3입니다. 3^x=20에 대해, x=ln20/ln3입니다. 만약 2^(2x)−2^x−2=0라면, u=2^x>0로 치환하십시오: (u−2)(u+1)=0이므로, u=2은 x=1를 주어, u=−1은 불가능합니다. 또한 ln(2+3)=ln5이지만, ln2+ln3=ln6입니다. 로그 내부의 합은 이 방식으로 분리할 수 없습니다.
Logarithm laws, negative powers and equation domains
For a>0, a≠1 and positive u,v: log_a(uv)=log_a u+log_a v, log_a(u/v)=log_a u−log_a v, and log_a(u^k)=k log_a u for real k
State the valid input, plotted variable or time unit before using the logarithmic/exponential relationship.
Solve 3^x=27.
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27=3³, so x=3.
유혹적인 단축법을 시험해 보십시오
- 로그를 합치거나 전개하더라도 원래 도메인이 지워지지 않습니다. ln(u²)=2ln|u| (u≠0); 2lnu라고 쓸 때는 추가로 u>0가 필요합니다. a^x=b에서 0이나 음의 우변에 대해 실수 로그를 취하지 마십시오. 베이스 1인 경우, b=1이면 1^x=b는 모든 실수 x에 대해 해를 가지며, 그렇지 않으면 해가 없으므로 로그 비를 사용할 수 없습니다.
- 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.
로그를 합친 후 얻어지는 모든 다항식의 근은 원래 로그 방정식을 만족합니다. 이 주장은 틀렸습니다. 이 주장이 어떤 정의나 가정 위반인지 설명하십시오.
For x>0 write ln(x^(-1/2))=klnx. Find k.
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The power law takes exponent −1/2 outside: k=−1/2.
Every polynomial root obtained after combining logarithms satisfies the original log equation.
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Combining or expanding logs does not erase their original domains. ln(u²)=2ln|u| for u≠0; writing 2lnu additionally needs u>0. Do not take a real logarithm of a zero or negative right-hand side in a^x=b. For base 1, 1^x=b has all real x when b=1 and no solutions otherwise; the log quotient is not available.
새로운 상황을 해석하십시오
- 우선 양수 제한 사항을 나열하고, 하나의 공통 베이스를 사용하여 유효한 법칙을 적용하십시오. 대수 작업 후, 모든 후보를 원래 로그/지수 방정식에 대입하십시오. 소수점 요청이 없다면 로그 비는 정확하게 유지하십시오. 두 로그 비가 동일한 유효한 베이스를 사용할 경우, 로그 베이스를 변경해도 지수 방정식의 해는 변하지 않습니다.
- 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.
Find the valid x for ln(x−1)+ln(x+1)=ln8.
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x²=9 gives ±3, but both original log arguments are positive only for x>1; accept 3.
Match each log law to its statement.
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The laws follow from exponent rules and apply only to positive arguments; ln(x²)=2ln|x| needs the modulus when x can be negative.
과정에 활용하십시오
- 7357 · A-Level · F. 확장 과제를 배정하기 전에 타겟 수준과 커리큘럼을 먼저 확인하시오.
- 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.
로그 안쪽의 입력값으로, 실수 로그의 경우 양수여야 합니다. 관계성을 선택하고, 방법을 제시하며, 그 가정을 확인하고 결과를 해석하십시오.