지수함수 그래프와 대수함수의 역함수
도입됨| English | 의미 |
|---|---|
| logarithm/ˈlɒɡərɪθəm/ | 로그 |
An exponential maps an exponent to a positive amount. Which graph reverses that input-output pair?
- An exponential maps an exponent to a positive amount. Which graph reverses that input-output pair?
- This lesson studies logarithm 对数: The exponent to which a stated valid base must be raised to produce a positive input.
Choose the mathematical structure
- For a>0, y=a^x has every real input and positive outputs. It passes through (0,1). For a>1 it increases; for 0<a<1 it decreases. For a=1 it is the constant 1, with no inverse function. For a>0 and a≠1, y=log_a x is the inverse of a^x: domain x>0, range all real numbers. ln x is log_e x and reverses e^x.
- State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.
왜 1^x에는 로그 역함수가 없습니까?
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역함수는 일대일 함수에서만 존재합니다. 상수 함수는 모든 x를 1로 압축하므로 "base 1의 로그"는 정의할 수 없습니다. 유효한 기저는 a>0이고 a≠1여야 합니다.
Work through a checked case
- Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.
The graph 2^x contains (−1,1/2),(0,1),(1,2),(2,4). Its inverse log₂x contains (1/2,−1),(1,0),(2,1),(4,2), reflected in y=x. The graph (1/2)^x gives 2,1,1/2 at x=−1,0,1, while its inverse log_(1/2)x is decreasing. For e^x and ln x, the points (0,1) and (1,0) are reflected partners; ln e=1 and ln(e³)=3. For any real u, ln(e^u)=u; for x>0, e^(ln x)=x. Logarithms approach but do not reach their vertical boundary x=0; e^x approaches y=0 as x tends to negative infinity.
지수함수 그래프와 대수함수의 역함수
a>0일 때, y=a^x는 모든 실수 입력에 대해 양수 출력을 가집니다.
대수함수/지수함수 관계를 사용하기 전에 유효한 입력, 그래프 변수 또는 시간 단위를 명시하십시오.
log₂(1/8)를 구하십시오.
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2^(−3)=1/8이므로 대수함수는 −3입니다.
Test a tempting shortcut
- Neither ln0 nor the logarithm of a negative real number exists in the real-number course. A negative logarithm output is allowed: ln(1/e)=−1. Base 1 is permitted for an exponential constant but not for a logarithm. For a base below 1 the exponential approaches zero as x tends to positive infinity, and the inverse has the opposite increasing/decreasing direction from the a>1 case.
- When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.
The constant exponential 1^x has a logarithmic inverse for all positive inputs. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.
ln(e³)의 값을 구하라.
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e의 거듭제곱의 역함수이므로 ln(e³)=3입니다.
상수 지수함수 1^x는 모든 양수 입력에 대해 대수함수 역함수를 가집니다.
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실수 과정에서는 ln0나 음의 실수의 대수함수값은 존재하지 않습니다. 단, 음의 대수함수 출력은 가능합니다: ln(1/e)=−1. 지수 상수의 베이스로 1는 허용되지만 대수함수의 베이스로는 허용되지 않습니다. 베이스가 1보다 작을 때 지수함수는 x가 양의 무한대로 갈수록 0에 수렴하며, 이 역함수는 a>1인 경우와 반대되는 증가/감소 방향을 가집니다.
Interpret a new situation
- State the base, domain and range before taking an inverse. Swap the coordinates of exact exponential points to construct the log graph. Preserve open boundaries and asymptotes. The source F3 prints x≥0; the valid logarithm input condition used here is x>0, since a^u is positive and never zero.
- A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.
e^(ln5)를 구하십시오.
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양수 입력 5이 ln의 정의역에 있으므로 e^(ln5)=5입니다.
각 쌍을 반비례 관계와 매칭하십시오.
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지수함수는 (0,1)를 지나며, 그 역함수는 (1,0)를 지납니다. 로그함수는 양수 입력만 허용하지만, 출력값은 음수가 될 수 있습니다.
Use this in your course
- 7357 · A-level · F. Match the target tier and specification before assigning extensions.
- Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.
The exponent to which a stated valid base must be raised to produce a positive input. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.