모호한 사인 법칙의 경우와 유효한 삼각형의 개수
도입됨| English | 의미 |
|---|---|
| ambiguous case/æmˈbɪɡjuːəs keɪs/ | 모호한 경우 |
Two sides and a non-included angle can describe two different plots of land. How do we check whether both triangles exist?
- Two sides and a non-included angle can describe two different plots of land. How do we check whether both triangles exist?
- This lesson studies ambiguous case 歧义情形: Given triangle data that can produce two different valid triangles.
Choose the mathematical structure
- Let A be opposite a, with b another known side. The sine rule gives sinB=b sinA/a. If this ratio is above 1 there is no triangle. Otherwise test both B=arcsin(b sinA/a) and its supplement 180°−B. Retain only positive C=180°−A−B; when B=90° the two branches coincide. Every side must be positive.
- State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.
A=30°, a=7, b=10일 때, 두 개의 유효한 삼각형이 존재하는 이유는 무엇인가?
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역사인함수는 예각 후보를 제공하며, 그 보각은 두 번째 후보가 됩니다. h<a<b이며 h=b sinA=5인 경우에만 두 개가 성립합니다. a=5일 때는 직삼각형 하나만 가능하고, a=4일 때는 불가능합니다.
Work through a checked case
- Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.
Take A=30°, a=7 and b=10. Then sinB=5/7, so B≈45.5847° or 134.4153°. Both give positive C, about 104.4153° or 15.5847°. The corresponding third sides are c=5√3+2√6≈13.5592 and c=5√3−2√6≈3.7613. To derive them, place A at the origin and C=(10cos30°,10sin30°)=(5√3,5); B=(c,0). The condition BC=7 gives (c−5√3)²+25=49. Both intersections lie on the positive baseline. Their areas are bc sinA/2=25√3/2±5√6, so the same data does not determine one area.
모호한 사인 법칙의 경우와 유효한 삼각형의 개수
A가 변 a의 대변이라고 하고, b를 다른 알려진 변이라 합시다.
각 삼각형 후보 및 변환된 핵심 지점을 그 정의 조건에 따라 정당화하십시오.
A=30°, a=7, b=10일 때 몇 개의 삼각형이 존재합니까?
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h=10sin30°=5; 5<7<10 조건에서는 두 양의 베이스선 교점이 나옴
Test a tempting shortcut
- A second inverse-sine value is only a candidate: it may make the remaining angle zero or negative. For acute A and h=b sinA, the cases are a<h: none; a=h: one right triangle; h<a<b: two; a≥b: one. At a=b the extra baseline intersection is c=0, a degenerate shape. For right or obtuse A, a must exceed b for one triangle; otherwise none.
- When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.
Two inverse-sine values always give two valid triangles. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.
A=30°, a=5, b=10일 때 몇 개가 맞습니까?
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a=h=5일 때는 한 개의 직삼각형만 생성되며, 역사각 분기가 일치함
두 역사각 값이 항상 두 개의 유효한 삼각형을 제공한다는 것은 아님
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두 번째 반사각 값은 오직 후보일 뿐입니다. 이는 남은 각이 0이나 음수가 될 수 있기 때문입니다. 예각 A와 h=b sinA인 경우, a<h: 없음; a=h: 한 개의 직삼각형; h<a<b: 두 개; a≥b: 하나입니다. a=b일 때 추가된 기본선 교점은 c=0로, 퇴화된 도형입니다. 직각 또는鈍角 A인 경우, 삼각형이 하나存在于하기 위해 a는 b를 초과해야 하며, 그렇지 않으면 존재하지 않습니다.
Interpret a new situation
- In the example h=5: changing a to 5 gives one right triangle, to 4 gives none, and to 10 gives one with A=B=30°. Check the angle sum, side order and cosine-rule reconstruction for every candidate. State both configurations when the given information does not select one, and keep exact lengths/areas where possible.
- A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.
A=30°, a=4, b=10일 때 몇 개가 맞습니까?
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a=4<h=5 makes sinB=5/4>1이므로 삼각형은 존재하지 않음
각 모호한 사례 조건(예각 A, h=b sinA)에 해당하는 삼각형의 개수를 매칭하세요.
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보각 후보는 반드시 세 번째 각과 변이 양수여야만 유효한 삼각형으로 인정됩니다.
Use this in your course
- 7357 · A-level · E. Match the target tier and specification before assigning extensions.
- Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.
Given triangle data that can produce two different valid triangles. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.