Multiple-angle equations and transformed intervals
도입됨| English | 의미 |
|---|---|
| transformed interval/trænsˈfɔːmd ˈɪntəvl/ | 변환된 구간 |
각도를 두 배로 하면探索的循环数也加倍。我们如何避免丢失一半的解？
- 각도를 두 배로하면探索的循环数也加倍。我们如何避免丢失一半的解？
- 이 수업에서는 변환된 구간을 연구합니다: 양 끝점에 동일한 입력 변화를 적용한 후의 대입각에 대한 구간입니다.
수학적 구조 선택하기
- 인자 u=kx+c에 대해 x의 전체 구간에 대해 u에 해당하는 구간으로 변환합니다. k가 음수이면 양 끝점의 순서를 반대로 하고, 각 끝점이 포함되는지 여부를 유지하십시오. 모든 반복된 사이클을 사용하여 u에 대해 풀고, x=(u−c)/k를 복원하여 원본 구간을 확인하십시오. 사인/코사인은 2π마다 반복되며, 타نگ엔트는 π마다 반복됩니다.
- 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.
Why does solving sin 2x=1/2 on [0,2π) need the interval [0,4π) for u=2x?
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Transforming the whole interval gives 0≤u<4π, where sine hits 1/2 four times: π/6, 5π/6, 13π/6, 17π/6. Halving recovers four x values; a single u-cycle finds only two.
검증된 사례를 풀이해 보기
- 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.
Solve sin2x=1/2 on 0≤x<2π. Then 0≤u=2x<4π, giving u=π/6,5π/6,13π/6,17π/6. Divide by 2: x=π/12,5π/12,13π/12,17π/12. For cos(2x−π/3)=1/2 on [0,2π), the new interval is [−π/3,11π/3). Its allowed u values are −π/3,π/3,5π/3,7π/3, hence x=0,π/3,π,4π/3. For tan3x=1 on [0,π), u ranges over [0,3π), so x=π/12,5π/12,3π/4. For sin(−2x)=0 on [0,π), the transformed interval is (−2π,0]; its roots u=−π,0 give x=π/2,0.
Multiple-angle equations and transformed intervals
For an argument u=kx+c, transform the whole interval for x into the corresponding interval for u
Explain the original interval, denominator or physical reference before using a trig equation.
How many solutions does sin2x=1/2 have on [0,2π)?
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2x covers two full turns, producing four sine roots.
유혹적인 단축법을 시험해 보십시오
- u의 한 사이클만 풀면 근을 놓칩니다. k<0일 때 x에 대해 제외된 상단 끝점은 u에 대해 상단 끝점이 아닐 수 있습니다. 삼각함수 인자로 나누면 영근을 제거할 수 있으며, 제곱하면 추가적인 근을 도입할 수 있습니다. 원본 방정식에 대입하십시오. 역함수/타нген트 분모는 여전히 후보를 제외할 수 있습니다.
- 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.
2x의 한 완전 회전에서 sin2x를 풀면 [0,2π)에서 모든 x 해를 항상 찾습니다. 이 주장은 틀렸습니다. 어떤 정의나 가정을 위반하는지 설명하십시오。
How many solutions does tan3x=1 have on [0,π)?
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3x covers three tangent periods, giving three roots.
Solving sin2x on one full turn of 2x always finds every x solution on [0,2π).
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Solving only one cycle of u misses roots. An excluded upper endpoint for x need not be the upper endpoint for u when k<0. Dividing by a trig factor can remove zero roots; squaring can introduce extra roots. Substitute into the original equation, whose reciprocal/tangent denominators may still exclude a candidate.
새로운 상황을 해석하십시오
- 사인에 대해 u=α+2jπ 또는 π−α+2jπ, 코사인에 대해 u=±arccos a+2jπ, 타نگ엔트에 대해 u=arctan a+jπ와 같은 일반 가정을 사용하십시오. j는 정수입니다. 변환된 구간 내에 있는 값만 유지하십시오. 사인/코사인의 극값에서 가정들을 중복제거하십시오. 요청된 각도 단위로 및 원본 변수로 답을 반환하십시오。
- 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.
How many solutions does sin(−2x)=0 have on [0,π)?
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The transformed interval is (−2π,0], giving u=−π,0 and hence two x values.
Match each multiple-angle step to its rule.
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Tangent repeats after π, sine and cosine after 2π; the number of cycles scales with |k|.
과정에 활용하십시오
- 7357 · A-level · E. 확장 과제를 배정하기 전에 목표 수준과 교육과정을 일치시키십시오.
- 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.
양 끝점에 동일한 입력 변화를 적용한 후의 대입각에 대한 구간입니다。 관계식을 선택하고, 방법을 제시하며, 가정을 점검하고 결과를 해석하십시오。