Quadratic trigonometric equations and complete root sets
도입됨| English | 의미 |
|---|---|
| candidate/ˈkændɪdeɪt/ | 후보 해 |
한 방정식은 두 가지 가능한 사인 값을 줍니다. 완전한 회전당 몇 개의 각도를 만듭니다?
- 한 방정식은 두 가지 가능한 사인 값을 줍니다. 완전한 회전당 몇 개의 각도를 만듭니다?
- 이 수업에서는 후보를 다룹니다: 원래 방정식과 구간에서 검증이 남아 있는 가능한 해입니다.
수학적 구조 선택하기
- 삼각함수 중 하나를 u로 치환하여 대수방정식을 푼 후, 명시된 구간에서 유효한 삼각함수 값을 각각 풉니다. 사인/코사인에는 [−1,1] 외의 u를 버립니다. 탄젠트는 모든 유한 실수 u를許容하지만 코사인이 0인 각도는 제외합니다. 삼각함수로 나누기 전에 인수를 분리하여 0인 경우를 유지하십시오.
- 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.
For 2cos²x-5cosx+2=0, the roots are cosx=1/2 and cosx=2. Why is only 1/2 usable?
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The substitution u=cos x carries the range restriction [-1,1]. The algebraic root u=2 has no angle, leaving x=π/3 and 5π/3 from u=1/2 on [0,2π).
검증된 사례를 풀이해 보기
- 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.
On 0≤x<2π, solve 2sin²x−sinx−1=0. Put u=sinx: (2u+1)(u−1)=0, so u=−1/2 or 1. The solutions are 7π/6, 11π/6 and π/2; sort them as π/2, 7π/6, 11π/6. For 2cos²x−5cosx+2=0, the algebraic values are 1/2 and 2; discard 2, leaving x=π/3,5π/3. For tan²x−3tanx+2=0, tanx=1 or 2. Thus x=π/4,5π/4,arctan2,π+arctan2, with all four checked in the original equation. For sinx cosx=sinx, factor sinx(cosx−1)=0: x=0 or π. Cancelling sinx would lose π.
Quadratic trigonometric equations and complete root sets
Replace one trig function by u, solve the algebraic equation, then solve each valid trig value on the stated interval
Explain the original interval, denominator or physical reference before using a trig equation.
How many solutions does 2sin²x−sinx−1=0 have on [0,2π)?
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sinx=1 gives π/2; sinx=−1/2 gives 7π/6 and 11π/6: three angles.
유혹적인 단축법을 시험해 보십시오
- 대수근만 세는 것이 아니라 각도를 세십시오: 사인 값 1은 한 회전에 한 개의 각도를 가지지만, 대부분의 내부 값은 두 개를 가집니다. 역함수를 취하기 전에 불가능한 사인/코사인 출력을 배제하십시오. 반개구 구간에는 2π를 포함하지 말고, 중복된 끝점을 두 번 나열하지 마십시오.
- 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.
cosx에 대한 이차방정식의 모든 실수 근은 허용된 코사인 값입니다. 이 주장은 틀렸습니다. 이 주장이 어떤 정의나 가정과 모순되는지 설명하십시오.
How many solutions remain for 2cos²x−5cosx+2=0 on that interval?
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Reject cosx=2; cosx=1/2 gives π/3 and 5π/3.
Every real root of a quadratic in cosx is an allowed cosine value.
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Count angles rather than only algebraic roots: a sine value 1 has one angle per turn, while most interior values have two. Reject impossible sine/cosine outputs before taking inverse functions. Do not include 2π in a half-open interval, and do not list a repeated endpoint twice.
새로운 상황을 해석하십시오
- Use an identity first if both sine and cosine occur: 2sin²x+cosx−2=0 becomes cosx(1−2cosx)=0, giving x=π/2,3π/2,π/3,5π/3 on [0,2π). A factorised product is zero when either factor is zero. Verify every candidate against the original domain and interval, especially after division or squaring.
- 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.
How many solutions does sinx cosx=sinx have on that interval?
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Factor sinx(cosx−1)=0; x=0 and π, with 0 appearing only once.
Match each trig-equation step to its purpose.
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Count ANGLES, not algebraic roots: sin x=1 gives one angle per turn while an interior value like -1/2 gives two.
과정에 활용하십시오
- 7357 · A-level · E. 확장 과제를 배정하기 전에 목표 수준과 교육과정을 일치시키십시오.
- 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.
원본 방정식과 구간에서仍需检查的可能的解。选择关系式，展示方法，检验假设并解释结果。