합각 공식 및 기하학적 증명
도입됨| English | 의미 |
|---|---|
| compound angle/ˈkɒmpaʊnd ˈæŋɡl/ | 합각 |
Two unit-radius points define a chord. Can its length explain why cosine of a difference is not the difference of two cosines?
- Two unit-radius points define a chord. Can its length explain why cosine of a difference is not the difference of two cosines?
- This lesson studies compound angle 复合角: An angle expressed as the sum or difference of two angles.
Choose the mathematical structure
- sin(A±B)=sinA cosB±cosA sinB. cos(A±B)=cosA cosB∓sinA sinB: the cosine sign changes. tan(A±B)=(tanA±tanB)/(1∓tanA tanB) where the tangents and denominator are defined. Derive tangent by dividing the corresponding sine and cosine formulas; do not extend a quotient through a zero denominator.
- State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.
왜 cos(A+B)=cosA cosB - sinA sinB일 때 sin(A+B)에는 더하기가 포함되는가?
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A=B=45°로 검증: cos 90°=0이고 cosAcosB-sinAsinB=1/2-1/2=0이며, 더하기라면 1이 됩니다. 코사인 부호 반전은 합각 기하학이 정확히 만드는 것입니다.
Work through a checked case
- Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.
Let P=(cosA,sinA) and Q=(cosB,sinB) on the unit circle. Coordinate distance gives PQ²=2−2(cosA cosB+sinA sinB). The cosine rule on the two unit radii gives PQ²=2−2cos(A−B), hence the cosine difference formula. Replace B by −B, using cosine even/sine odd, to obtain cosine addition. Apply cosine difference to (π/2−A) and B to obtain sin(A+B); then change B’s sign for sine subtraction. Exact evaluations: sin75°=sin(45°+30°)=(√6+√2)/4; cos75°=(√6−√2)/4; sin15°=(√6−√2)/4, cos15°=(√6+√2)/4 and tan15°=2−√3.
합각 공식 및 기하학적 증명
sin(A±B)=sinA cosB±cosA sinB
각도 공식이 기하학적 또는 계수 조건에서 어떻게 유도되는지 설명하시오.
sin(π/12)를 소수점 이하 값으로 구하십시오.
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sin(π/4−π/6)=(√6−√2)/4≈0.258819를 사용하십시오.
Test a tempting shortcut
- sin(A+B) is not sinA+sinB. The cosine rule chord uses the smaller included angle when necessary, but its cosine is still cos(A−B). Coordinate distance and the resulting identities hold for all signed angles; the initial diagram is one illustrative case. tan(45°+45°) is undefined because 1−tan45°tan45°=0.
- When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.
Cosine of a sum always equals the sum of the two cosine values. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.
cos(π/12)를 소수점 이하 값으로 구하십시오.
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cos(π/4−π/6)=(√6+√2)/4≈0.965926를 사용한다.
두 코사인 값의 합이 항상 합각의 코사인값과 같다고 할 수는 없습니다.
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sin(A+B)는 sinA+sinB와 같습니다. 법칙弦(chord)은 필요할 때 작은 포함 각을 사용하지만, 그 코사인값은 여전히 cos(A−B)입니다. 좌표 간격과 그에 따른 항등식은 모든 부호가 있는 각에 대해 성립하며, 초기 도식은 이를 설명하는 하나의 사례일 뿐입니다. tan(45°+45°)는 정의되지 않습니다. 왜냐하면 1−tan45°tan45°=0이기 때문입니다.
Interpret a new situation
- Choose familiar angles whose sum or difference is the target. Keep exact roots and rationalise a tangent quotient if needed. In a geometric proof, state both expressions for the same chord rather than assuming the desired identity. Check the denominator before applying a tangent addition/subtraction formula.
- A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.
tan(π/12)를 소수점 이하 값으로 구하십시오.
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tan(π/4−π/6)=2−√3≈0.267949를 사용하십시오.
각 정확한 값을 합각 계산과 매칭하십시오.
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특수 삼각형 값은 합공식을 통해 계산기 없이 15°와 75°에서의 정확한 값을 생성합니다.
Use this in your course
- 7357 · A-level · E. Match the target tier and specification before assigning extensions.
- Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.
An angle expressed as the sum or difference of two angles. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.