역비율 항등식 및 양측 증명 체인
도입됨| English | 의미 |
|---|---|
| identity/aɪˈdentɪti/ | 항등식 |
두 공식이 한 각도에서 일치합니다. 이것이 정의될 수 있는 모든 각도에서 일치함을 증명합니까?
- 두 공식이 한 각도에서 일치합니다. 이것이 정의될 수 있는 모든 각도에서 일치함을 증명합니까?
- 이 수업에서는 항등식을 다룹니다: 명시된 공통 정의역의 모든 입력에 대해 참인 등식입니다.
수학적 구조 선택하기
- 단위원 방정식은 sin²θ+cos²θ=1를 줍니다. cosθ≠0일 때 cos²θ로 나누면 tan²θ+1=sec²θ가 됩니다. sinθ≠0일 때 sin²θ로 나누면 1+cot²θ=cosec²θ가 됩니다. 소거하거나 나눗셈을 하기 전에 제외 조건을 기록하십시오. 증명은 한 쪽에서 시작하여 유효한 등식을 통해 다른 쪽에 도달해야 하며, 숫자 검증만으로는 증명이 되지 않습니다.
- 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.
θ=π/4에서 tan²θ-sin²θ=tan²θsin²θ를 확인하는 것이 증명인 이유는 무엇입니까?
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항등식은 모든 허용된 입력에서 등성을 주장합니다. 증명은 한쪽에서 다른 쪽으로 유효한 등식을 연결합니다: sin²θ(1/cos²θ-1)=sin⁴θ/cos²θ=tan²θsin²θ, 제외 조건은 기록됩니다.
검증된 사례를 풀이해 보기
- 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.
Prove tan²θ−sin²θ=tan²θ sin²θ for cosθ≠0. The left side is sin²θ(1/cos²θ−1)=sin²θ(1−cos²θ)/cos²θ=sin⁴θ/cos²θ=tan²θ sin²θ. No division by sinθ is needed, so sinθ=0 remains allowed. For sinθ≠0, (1−cosθ)/sinθ becomes (1−cosθ)(1+cosθ)/[sinθ(1+cosθ)]=sin²θ/[sinθ(1+cosθ)]=sinθ/(1+cosθ). The stated exclusion also makes 1+cosθ nonzero. If secθ=2 with θ acute, tan²θ=4−1=3, cosθ=1/2, sin²θ=3/4, cosec²θ=4/3 and cot²θ=1/3.
역비율 항등식 및 양측 증명 체인
단위 원 방정식에 의해 sin²θ+cos²θ=1임을 알 수 있습니다.
각 단계가 유효하도록 하는 분모 또는 가지 제한 조건이 무엇인지 설명하시오.
secθ=2이고 θ가 예각일 때, tan²θ를 구하십시오.
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tan²θ=sec²θ−1=4−1=3입니다.
유혹적인 단축법을 시험해 보십시오
- 항등식을 증명한다는 것은 정당화 없이 양변이 같다고 가정하고 그 가정을 변형하는 것을 의미하지 않습니다. 제곱된 항등식은 함수의 부호를 결정하지 못하며, 부호는 사분면에 의해 결정됩니다. 마지막 식 sinθ/(1+cosθ)는 θ=0에서 정의되지만, 원식 (1−cosθ)/sinθ는 정의되지 않습니다. 단순화는 원식의 정의역을 복원하지 못합니다.
- 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.
제안된 항등식을 한 각도에서 확인하는 것은 모든 허용 가능한 각도에 대해 성함을 증명합니다. 이 주장은 틀렸습니다. 어떤 정의나 가정을 위반하는지 설명하십시오.
해당 각도에 대한 cosec²θ를 구하십시오.
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sin²θ=1−cos²θ=3/4; 그 역수는 4/3입니다.
제시된 항등식이 특정 한 각에서 성립함을 확인하는 것은 모든 허용 가능한 각에 대해 그 성립을 증명합니다.
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항등식을 증명한다는 것은 양변이 같다는 것을 전제로 그 가정을 정당화 없이 변형하는 것을 의미하지 않습니다. 제곱된 항등식은 함수의 부호를 결정하지 못하며, 이는 사분면에 의해 결정됩니다. 마지막 식 sinθ/(1+cosθ)는 θ=0에서 정의되지만, 원본 (1−cosθ)/sinθ은 그렇지 않습니다. 단순화는 원본의 정의를 복원하지 못합니다.
새로운 상황을 해석하십시오
- 더 복잡한 쪽을 선택하고, 역함수를 사인과 코साइन으로 대체하며, 공통 분모를 사용하고 sin²+cos²=1를 적용하십시오. 소거된 인자에 주석을 달아십시오. 주장된 항등式的 반증에는 유효한 반례 하나면 충분하며, 증명에는 공통 정의역의 모든 각도에 대해 체인이 작동하는 이유를 설명하십시오.
- 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.
해당 각에 대해 cot²θ를 구하십시오.
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cot²θ=cosec²θ−1=4/3−1=1/3입니다.
도출된 각 항등식에 소스를 매칭하십시오.
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간소화는 원본 도메인을 복구하지 않습니다: sinθ≠0인 곳에서만 유효한 단계는 θ=0을 원본 식에서 제외시킵니다.
과정에 활용하십시오
- 7357 · A-level · E. 확장 과제를 배정하기 전에 목표 수준과 교육과정을 일치시키십시오.
- 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.
명시된 공통 정의역의 모든 입력에 대해 참인 등식입니다. 관계를 선택하고 방법을 제시하며, 가정과 결과를 확인하고 해석하십시오.