Arithmetic series and inverse problems
도입됨| English | 의미 |
|---|---|
| common difference/ˈkɒmən ˈdɪfrəns/ | 공차 |
두 개의 알려진 항이 등차수열을 드러낸다. 명시된 총합이 정확히 몇 개의 항이 더했는지 알려줄 수 있는가?
- 두 개의 알려진 항이 등차수열을 드러낸다. 명시된 총합이 정확히 몇 개의 항이 더했는지 알려줄 수 있는가?
- 이 수업에서는 공차를 다룹니다: 다음 항을 얻기 위해 각 항에 상수적으로 더하는 양입니다.
수학적 구조 선택하기
- 첫 항이 ⟦a⟧이고 공차가 ⟦d⟧일 때, ⟦u_n = a + (n - 1)d⟧입니다. n항의 합은 ⟦S_n = n[2a + (n - 1)d] / 2 = n(a + u_n) / 2⟧입니다. 첫 항과 마지막 항을 짝짓하면 전체 짝의 합이 일정합니다. 역문제는 공차 ⟦d⟧와 첫 항 ⟦a⟧에 대한 연립방정식을 풀거나, 항 수 ⟦n⟧에 대한 이차방정식을 풀어야 할 수 있으며, 항 수는 반드시 양의 정수여야 합니다.
- 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.
Solving 3n²+5n-350=0 for a term count gives n=10 and n=-35/3. Why keep only 10?
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The number of terms is a count: positive and whole. n=-35/3 fails both, and rounding it would give a total that does not satisfy the sum formula - check S_10=175 directly.
검증된 사례를 풀이해 보기
- 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.
u₃=10, u₇=22일 때 a+2d=10와 a+6d=22를 세우십시오. 두 식을 뺄 때 d=3, a=4이므로 u_n=3n+1이며 S_n=n(3n+5)/2입니다. 총합 175을 구하려면 3n²+5n−350=0=(n−10)(3n+35)를 풀어야 합니다. 근은 10과 −35/3인데, 양수 정수인 n은 오직 n=10뿐입니다. u₁₀=31과 S₁₀=10(4+31)/2=175을 확인하십시오. 정확히 200의 총합은 정수 n이 없으며, S₁₀=175이고 S₁₁=209입니다. 양수 항들이 존재하므로 이 합들은 STRICTLY 증가합니다.
Arithmetic series and inverse problems
For first term a and common difference d, u_n=a+(n−1)d
Check which series formula answers the question and whether its conditions hold.
Find a when u₃=10 and u₇=22 in an arithmetic sequence.
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Subtract the two term equations to get 4d=12, then a=10−2×3=4.
유혹적인 단축법을 시험해 보십시오
- n번째 항과 n개의 항의 합은 서로 다른 양입니다. n번째 항에는 n개 차이가 아닌 n−1개의 차이가 포함됩니다. 항의 정확한 개수에 대한 비정수 해를 반올림하지 마십시오. 만약 질문이 목표치 이상의 첫 번째 총합을 묻는다면, 인접한 정수 총합을 확인하십시오. 모든 산술 급수가 부분합을 단조롭게 증가시키지는 않습니다.
- 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.
항의 정확한 개수에 대한 비정수 해는 항상 가장 가까운 정수로 반올림할 수 있습니다. 이 주장은 틀렸습니다. 이 주장이 어떤 정의나 가정을 위반하는지 설명하십시오.
Find its common difference d.
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d=(22−10)/(7−3)=3.
A noninteger solution for an exact term count can always be rounded to the nearest integer.
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The nth term and sum of n terms are different quantities. The nth term contains n−1 differences, not n. Do not round a noninteger solution for an exact number of terms. If the question asks for the first total at least a target, check the neighbouring integer totals. Not every arithmetic series has increasing partial sums.
새로운 상황을 해석하십시오
- 이 수열에서 S_n≥200가 되는 최소의 n은 11입니다. 이전의 총합이 175이기 때문입니다. 문제가 정확히 특정된 총합을 요구하는지, 아니면 임계점(threshold)을 요구하는지를 명시하십시오. 공차(common difference)가 음수여도 합 공식은 유효하지만, 양수성이나 단조성을 가정할 경우 실제 항들로부터 이를 반드시 확인해야 합니다.
- 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.
How many terms give total 175 in this sequence?
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The sum equation factors to (n−10)(3n+35)=0; retain the positive integer 10.
Match each arithmetic-series formula to its quantity.
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The nth term holds n-1 differences, not n; inverse problems solve simultaneous equations for a and d before any sum is touched.
과정에 활용하십시오
- 7357 · A-level · D. 확장 과제를 배정하기 전에 목표 수준과 교육과정을 일치시키십시오.
- 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.
다음 항을 얻기 위해 각 항에 고정으로 더하는 양입니다. 관계를 선택하고, 방법을 제시하며, 그 가정을 검증하고 결과를 해석하십시오.