시그마 표기법, 인덱스 및 변경된 한계
도입됨| English | 의미 |
|---|---|
| summation index/sʌˈmeɪʃn ˈɪndeks/ | 합의 지수 |
A sum starts at the third term. How many terms does it contain, and what changes if we rename or shift its index?
- A sum starts at the third term. How many terms does it contain, and what changes if we rename or shift its index?
- This lesson studies summation index 求和指标: The variable that takes each integer value between a sum’s stated limits.
Choose the mathematical structure
- In a sum from k=a to b, substitute each integer a,a+1,…,b into the summand and add the results. There are b−a+1 terms when a≤b. The summation index is a dummy variable, but other parameters keep their values. Renaming an index preserves the sum only when its bound occurrences are renamed consistently.
- State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.
k=3부터 k=7까지의 합에는 몇 개의 항이 포함되는가?
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포함형 인덱스 범위는 b-a+1개의 값을 가집니다. 끝점을 빼고 1을 더하지 않으면 첫 번째 항이 사라집니다 - 합 5+7+9+11+13에는 5개의 명확한 항이 있습니다.
Work through a checked case
- Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.
The sum from k=3 to 7 of (2k−1) is 5+7+9+11+13=45, with five terms. It also equals the sum from k=1 to 7 minus the sum from k=1 to 2: 49−4=45. With j=k−2, the lower limit becomes 1, the upper becomes 5 and 2k−1 becomes 2j+3, again giving 45. By linearity, the original sum is 2 times the sum of k from 3 to 7, minus five copies of 1: 2×25−5=45.
시그마 표기법, 인덱스 및 변경된 한계
k=a부터 b까지의 합에서 각 정수 a, a+1,…,b를 피제수에 대입하고 결과를 더하십시오.
수열이나 합에 대한 추론이 모든 정의 정보를 유지하는지 확인하십시오.
(2k−1)의 k=3부터 7까지의 합을 구하십시오.
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5+7+9+11+13=45를 더하십시오.
Test a tempting shortcut
- An inclusive sum from 3 to 7 has five terms, not four or seven. Subtract the prefix through a−1, not through a, when changing the lower limit. A constant is added once per index value: the sum of c from a to b is c(b−a+1). Shifting the index changes both bounds and the summand.
- When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.
Renaming or shifting an index never requires changing the summand. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.
해당 합에 몇 개의 항이 포함됩니까?
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포함적인 정수 인덱스를 세십시오: 7−3+1=5.
인덱스의 명명 변경이나 이동은 피제수를 바꿀 필요가 없습니다.
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3부터 7까지의 포함적 합은 네 개가 아니라 다섯 개의 항을 가집니다. 하한을 변경할 때는 a를 통해 뺄 것이 아니라 a−1를 통해 뺍니다. 상수는 인덱스 값마다 한 번씩 추가됩니다: a부터 b까지 c의 합은 c(b−a+1)입니다. 인덱스를 이동하면 두 한계와 피제수가 모두 변경됩니다.
Interpret a new situation
- For the sum of (2k−1) from k=1 to n, the index k changes while n is the fixed upper bound; the result is n² for positive integer n. Thus a tail from k=m to n is n²−(m−1)² for 1≤m≤n. Expand a few terms to check a symbolic manipulation before applying a sum formula.
- A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.
j=k−2로 치환했을 때 새로운 상한은 무엇입니까?
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k=7일 때, j=7−2=5입니다.
각 시그마 변형을 올바른 형태와 매칭하십시오.
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인덱스는 더미 변수입니다: 이름 변경이나 이동은 하한과항을 일관되게 변경해야 합니다.
Use this in your course
- 7357 · A-level · D. Match the target tier and specification before assigning extensions.
- Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.
The variable that takes each integer value between a sum’s stated limits. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.