Increasing, decreasing and periodic recurrences
도입됨| English | 의미 |
|---|---|
| periodic sequence/ˌpɪərɪˈɒdɪk ˈsiːkwəns/ | 주기 수열 |
같은 업데이트 규칙은 하나의 시작값을 증가시키고 다른 하나를 감소시킬 수 있습니다. 어떤 것이 이 행동의 기준이 되는가?
- 같은 업데이트 규칙은 하나의 시작값을 증가시키고 다른 하나를 감소시킬 수 있습니다. 어떤 것이 이 행동의 기준이 되는가?
- 이 수업에서는 주기적 수열(Periodic Sequence) 을 연구합니다: 일정한 양의 단계 수 후로 항들이 반복되는 수열입니다.
수학적 구조 선택하기
- 재귀에는 초기 항뿐만 아니라 규칙도 필요합니다. 이전 항으로부터 새로운 항을 계산하되, 유용한 곳에서는 정확한 값을 유지하십시오. u_(n+1)−u_n을 비교하고 증가하거나 감소하는 행위를 주장하기 전에 경계를 확인하십시오. 주기적 수열은 일정한 단계 수 후로 반복되며, 가장 작은 양의 반복 단계는 주기가 됩니다.
- 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.
For u next=u/2+3 starting at 1, why does the sequence increase toward 6 without passing it?
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While u_n<6, the update adds half the remaining gap, so terms rise and stay below 6. Starting above 6 the same rule decreases toward it: the fixed point attracts from both sides.
검증된 사례를 풀이해 보기
- 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.
u₁=1이고 u_(n+1)=u_n/2+3인 경우, 첫 항들은 1,7/2,19/4,43/8입니다. 고정 값 L=L/2+3을 풀면 L=6이 됩니다. 만약 u_n<6, the next term remains below 6 and u_(n+1)−u_n=(6−u_n)/2>0. 따라서 이 수열은 6로 증가합니다. 대신 11에서 시작하면 11,17/2,29/4,…, 6보다 위를 유지하면서 감소합니다. 정확한 형식은 u_n=6+(u₁−6)/2^(n−1)입니다. 별도로, v₁=2이고 v_(n+1)=6−v_n이면, 두 번의 규칙 적용이 원래 항으로 돌아가므로 2,4,2,4,…이 주기 2로 나타납니다. 두 번째 규칙을 3에서 시작하면 가장 작은 주기가 1인 일정 수열을 얻습니다.
Increasing, decreasing and periodic recurrences
A recurrence needs an initial term as well as a rule
Check whether a sequence or sum argument preserves all its defining information.
For u₁=1 and u_(n+1)=u_n/2+3, find u₂.
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u₂=1/2+3=7/2=3.5.
유혹적인 단축법을 시험해 보십시오
- 초기 수치적 항은 모든 n에 대해 행동을 시사하지만 증명하지는 못한다. 고정점 방정식만으로는 수렴을 증명할 수 없으며, 업데이트가 계속해서 고정점에 가까워져야 한다. 교대 값이 주기적일 필요는 없으며, (−2)^n은 부호가 교대while 크기는 커진다. “증가(increasing)”가 엄격하게 증가하는지 아니면 단순히 비감소(nondecreasing)하는지를 명시하라.
- 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.
고정된 값을 갖는 모든 재귀 식은 모든 시작 값에서 그 값으로 수렴해야 합니다. 이 주장은 틀렸습니다. 이 주장이 위배하는 정의나 가정은 무엇인지 설명하십시오.
Find u₃ for that sequence.
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u₃=(7/2)/2+3=19/4=4.75.
Every recurrence with a fixed value must converge to it from every starting value.
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Early numerical terms suggest behaviour but do not prove it for every n. A fixed-point equation alone does not prove convergence: the update must keep approaching it. Alternating values need not be periodic; (−2)^n alternates in sign while its magnitude grows. State whether “increasing” means strictly increasing or merely nondecreasing.
새로운 상황을 해석하십시오
- 대입하여 재귀 식에 명시적 형태를 검증하고 초기 항을 확인하십시오. 6에서의 거리가 매 업데이트마다 절반으로 줄어드는 것이 이 예에서 수렴하는 이유입니다. 다른 초기 항은 재귀 공식이 동일함에도 방향을 바꾸거나 일정한 수열을 만들 수 있습니다.
- 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.
Find the smallest period of 2,4,2,4,… .
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Two updates return to 2, while one gives 4; the smallest period is 2.
Match each recurrence behaviour to its test.
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Behaviour claims need the difference or bound argument; a period is the SMALLEST positive repeat step.
과정에 활용하십시오
- 7357 · A-level · D. 확장 과제를 배정하기 전에 목표 수준과 교육과정을 일치시키십시오.
- 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.
고정된 양의 단계 수 후로 항들이 반복되는 수열입니다. 관계를 선택하고, 방법을 제시하며, 가정을 점검하고 결과를 해석하십시오.