Factorials, combinations and binomial coefficients
도입됨| English | 의미 |
|---|---|
| combination/ˌkɒmbɪˈneɪʃn/ | 조합 |
이항 계수는 어떤 인자들이 x 항을 기여하는지 세어준다. 왜 x²의 계수가 파스칼 삼각형의 중간 숫자가 아닐까?
- 이항 계수는 어떤 인자들이 x 항을 기여하는지 세어준다. 왜 x²의 계수가 파스칼 삼각형의 중간 숫자가 아닐까?
- 이 수업에서는 조합(Combination) 을 연구합니다: 순서가 서로 다른 선택을 구분하지 않는 선택입니다.
수학적 구조 선택하기
- 비음 정수 n에 대하여 n!=n(n−1)…1이며, 0!=1입니다. 0≤r≤n인 경우, 조합수 nCr=n!/[r!(n−r)!]는 순서 없는 선택의 개수를 세어줍니다. (a+bx)^n(양수 정수 n)에서 x^r의 계수는 nCr × a^(n−r) × b^r입니다.展開在按x的升幂排列时，项数为r+1。
- 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.
Why is the x² coefficient in (2+3x)⁴ not just 4C2=6?
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The binomial coefficient counts the arrangements; the x² term is 4C2×2²×(3x)²=6×4×9x²=216x². Omitting the a and b powers is the standard error.
검증된 사례를 풀이해 보기
- 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.
4!=24且 4C2=24/(2×2)=6. n=4에 대한 계수는 1,4,6,4,1이다. (2+3x)^4에서 x²항은 4C2×2²×(3x)²=216x², 상수항은 2⁴=16, x항은 4×2³×3x=96x이다. 성공 확률이 각 1/3인 독립 시행 4회에서 정확히 2번 성공할 확률은 4C2×(1/3)²×(2/3)²=8/27이다. 계수 6는 성공 위치의 가능한 조합 수를 세며, 모든 배열은 동일한 확률을 가진다.
Factorials, combinations and binomial coefficients
For a nonnegative integer n, n!=n(n−1)…1 and 0!=1
Connect a factored expression to its graph or expansion coefficients.
Evaluate 4!.
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4!=4×3×2×1=24.
유혹적인 단축법을 시험해 보십시오
- 조합 계수를 사용할 때 a 또는 b의 지수를 생략하지 마십시오. x² 항은 두 번째가 아니라 세 번째 항입니다. 확률 식은 고정된 횟수의 실험, 독립적인 이분적 결과, 그리고 동일한 성공 확률을 필요로 합니다. 변화하는 확률은 이 단순한 모델이 무효화됩니다.
- 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.
(a+bx)^n의 x² 계수는 항상 nC2일 뿐입니다. 이 주장은 틀렸다. 이 주장이 위배하는 정의 또는 가정을 설명하시오.
Evaluate 4C2.
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4C2=4!/(2!2!)=24/4=6.
The x² coefficient of (a+bx)^n is always just nC2.
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Do not omit the powers of a or b when using a combination coefficient. The x² term is the third term, not the second. The probability expression needs a fixed number of trials, independent binary outcomes and the same success probability; a changing probability invalidates this simple model.
새로운 상황을 해석하십시오
- 대칭성 nCr=nC(n−r)을 사용하고 계산하기 전에 계승 인자를 약분하십시오. (2+3x)^4에서 x³ 계수를 구하려면, 4C3×2×3³=216를 사용하십시오. 여기서 유한 다항식 공식은 양의 정수 n에 대한 것입니다. 대신 유리 지수를 사용하면 명시된 유효 구간과 함께 별도의 일반 이항 급수가 됩니다.
- 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.
Find the coefficient of x² in (2+3x)^4.
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The coefficient is 6×2²×3²=216.
Match each binomial quantity to its value or rule.
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nCr counts unordered selections; in an expansion it multiplies a^(n-r)b^r, and ascending powers start at r=0.
과정에 활용하십시오
- 7357 · A-level · D. 확장 과제를 배정하기 전에 목표 수준과 교육과정을 일치시키십시오.
- 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.
순서가 서로 다른 선택을 구분하지 않는 선택입니다. 관계를 선택하고, 방법을 제시하며, 그 가정들을 검토하고 결과를 해석하시오.