Binomial expansion and valid approximations
도입됨| English | 의미 |
|---|---|
| binomial coefficient/baɪˈnəʊmɪəl ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | 이항 계수 |
작은 변화가 지수 함수에 미치는 영향은?
- 양의 값의 지수에 작은 측정 오차가 미친 영향을 나타냅니다. 첫 번째 및 두 번째 효과의 크기는 급수 전개로 확인할 수 있습니다.
- 이번 수업에서는 **이항 계수(binomial coefficient)**를 연구합니다: 주어진 집합에서 특정 개수의 물체를 선택하는 방법의 수입니다.
수학적 구조 선택하기
- 양의 정수 n에 대해 (a+b)^n은 유한 이항 전개입니다. 비정수 n에 대해서는 (1+x)^n을 1+nx+n(n-1)x²/2+...로 전개하되 |x|<1여야 합니다. 이 형식을 사용하기 전에 상수 요인을 인수로 분리하십시오.
- 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.
For the infinite expansion of (1+2x)^(-1), which condition is required?
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The validity condition |u|<1 applies to the whole bracket term u=2x, so |x|<1/2. Using |x|<1 would wrongly accept x=0.9, where the series diverges.
검증된 사례를 풀이해 보기
- 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.
(1+2x)^5=1+10x+40x²+80x³+80x⁴+32x⁵입니다. (1+x)^(-1)의 첫 세 항은 1-x+x²이며, x=0.1일 때 이 값은 0.91이 됩니다. 반면 정확한 값은 1/1.1≈0.909091입니다.
Binomial expansion and valid approximations
For positive integer n, (a+b)^n is a finite binomial expansion
Compare the model with the worked case and explain one change.
Find the coefficient of x² in (1+2x)^5.
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Choose two of five factors and include 2²: C(5,2)×4=40.
유혹적인 단축법을 시험해 보십시오
- 2x에 대한 전개는 무한 급수에서 |2x|<1이어야 하며, 단순히 |x|<1일 뿐이지 않습니다. 양의 정수 전개는 유한하며 수렴 조건이 해당되지 않습니다.
- 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.
모든 이항 전개는 양의 정수가 아닌 지수를 포함하는 유한 다항식이다. 이 주장은 틀렸다. 이 주장이 위배하는 정의 또는 가정을 설명하시오.
Use 1-x+x² to estimate 1/(1+x) at x=0.1.
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Substitute 0.1: 1-0.1+0.01=0.91.
Every binomial expansion is a finite polynomial, including powers that are not positive integers.
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An expansion in 2x requires |2x|<1 for the infinite series, not merely |x|<1. Positive-integer expansions are finite and do not have that convergence restriction.
새로운 상황을 해석하십시오
- 근사값과 함께 유효 범위를 명시하십시오. 요청된 정확도를 지원할 만큼 충분한 항을 유지하고, 계수(coefficient)와 x가 포함된 전체 항(term)을 구분하십시오.
- 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.
How many terms are in the full expansion of (a+b)^5?
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The powers run from 0 through 5, giving six terms.
Match each expansion fact to its statement.
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Positive-integer powers expand finitely with binomial coefficients; other powers give infinite series that converge only inside the validity interval.
과정에 활용하십시오
- 7357 · A-level · D. 확장 과제를 배정하기 전에 목표 수준과 교육과정을 일치시키십시오.
- 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.
집합에서 특정 개수의 물체를 선택하는 방법의 수. 관계를 선택하고, 방법을 제시하며, 그 가정들을 검토하고 결과를 해석하시오.