이동된 원, 현(chord) 및 접선(tangent)
도입됨| English | 의미 |
|---|---|
| centre/ˈsentə/ | 원점 |
확장된 원 방정식 속의 중심은 어디에 숨겨져 있는가?
- 확장된 원 방정식은 중심과 반지름을 숨길 수 있습니다. 제곱 완성法(completing the square)을 통해 현(chord)이나 접선에 필요한 기하학적 성질을 드러낼 수 있습니다.
- 이번 수업에서는 중심을 다룹니다: 원 위의 모든 점에서 등거리인 점을 말합니다.
수학적 구조 선택하기
- 원을 (x−a)²+(y−b)²=r² 형태로両변을 제곱완성법(completing squares)으로 변형하십시오. 중심에서 현(chord)에 내린 수선은 현을 이등분하므로, 직각삼각형을 통해 반현 길이를 구할 수 있습니다. 접선은 접점에서의 반지름과 수직입니다. 지름이 원주(w circumference)에서 이루는 각은 90°입니다.
- 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.
x²+y²-4x+2y-20=0인 원의 중심이 (2,-1)인 이유는 (-4,2)가 아니기 때문입니다
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각 제곱을 완성하기 위해 일차항 계수를 반으로 나누십시오: (x-2)²와 (y+1)². 중심은 (2,-1)로 읽습니다 - 괄호 안 상수는 부호가 반대로 표시되며 - 반지름²²는 20+4+1=25입니다
검증된 사례를 풀이해 보기
- 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.
x²+y²−4x+2y−20=0에서 제곱을 완성하면 (x−2)²+(y+1)²=25: 중심 (2, −1), 반지름 5. 현 y=2은 중심으로부터 3단위 위에 있으며, 반길이는 √(25−9)=4이므로 끝점은 (−2,2), (6,2)이고 길이는 8이다. P(5,3)에서의 반지름 기울기는 4/3이므로 접선 식은 y−3=−3(x−5)/4 또는 3x+4y=27이다. 지름의 끝점 A(−3, −1), B(7, −1)와 원주상의 점 T(2,4)에서 기울기 AT=1, BT=−1을 확인하면 각 ATB=90°임을 알 수 있다.
이동된 원, 현(chord) 및 접선(tangent)
(x−a)²+(y−b)²=r² 형태로 양변을 제곱완성하여 원을 다시 쓰십시오.
각 좌표 계산식을 기하학적 또는 문맥적 조건에 맞게 매칭하시오.
x²+y²−4x+2y−20=0의 반지름을 구하시오.
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완성된 식에서 r²=4+1+20=25이므로, r=5이다.
유혹적인 단축법을 시험해 보십시오
- 제곱 완성法을 할 때 상수를 더하면 다른 쪽도 조정해야 합니다. 원의 중심은 괄호 안 상수의 부호가 반대입니다. 제안된 접점의 위치는 반드시 원 위에 있어야 하며, 무관한 점에서 수직성만으로는 충분하지 않습니다.
- 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.
어떤 반지름이나 수직인 직선은 평면상 어딘가에서 교차하더라도 자동으로 접선이 된다는 주장은 틀렸습니다. 이 주장이 어떤 정의나 가정과 위배되는지 설명하십시오.
현(chord) y=2의 길이를 구하시오.
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반지름=√(25−3²)=4이므로, 전체 현의 길이는 8입니다.
어떤 반지름이나 수직인 직선은 평면상의 어디를 지나더라도 자동으로 접선이 됩니다.
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제곱완성 시 상수를 더하면 다른 쪽도 조정해야 합니다. 원의 중심은 괄호 안의 상수와 부호가 반대입니다. 제안된 접점은 원 위에 있어야 하며, 무관한 점에서의 수직성만으로는 불충분합니다.
새로운 상황을 해석하십시오
- 각 접점과 두 현 끝점에 대해 반지름 거리를 확인하십시오. r²이 음수가 되면 실수 원이 없으며, r²=0이면 비퇴화 원이 아닌 단일 점이 됩니다. 수직이나 수평인 반지름을 다항적으로 나누지 않도록 주의하십시오.
- 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.
P(5,3)에서 접선 방정식 3x+4y=c에 대한 상수 c를 구하십시오.
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P에서 c=3×5+4×3=27입니다.
각 원의 성질을 그에 따른 결과와 매칭하십시오
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반현 길이는 반지름을 빗변으로 하는 직각삼각형에서 구할 수 있으며, 접선이 주어진 점에서 원에 접함을 확인해야 합니다
과정에 활용하십시오
- 7357 · A-Level · C. 확장 과제를 배정하기 전 타겟 등급과カリキュラム을 먼저 확인하십시오.
- 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.
원 위의 모든 점에서 등거리인 점을 말하며, 관계성을 선택하고, 방법을 제시하며, 가정을 점검하고 결과를 해석하십시오.