합성함수와 중간 정의역
도입됨| English | 의미 |
|---|---|
| composition/ˌkɒmpəˈzɪʃn/ | 함수의 합성 |
한 기계의 출력이 다른 기계의 입력이 됩니다. 허용된 초기 입력이라도 무효인 중간 값을 생성할 수 있습니다.
- 한 기계의 출력이 다른 기계의 입력이 됩니다. 허용된 초기 입력이라도 무효인 중간 값을 생성할 수 있습니다.
- 이 수업은 합성(composition) 을 다룹니다: 특정 순서에 따라 한 함수의 출력에 다른 함수를 적용하는 것입니다.
수학적 구조 선택하기
- 여기서 fg는 g에 f를 합성한 것, 즉 fg(x)=f(g(x))이며 곱셈이 아닙니다. 먼저 g을 적용하십시오. 합성된 입력은 내부 함수의 정의역에 속해야 하며, 그 출력은 외부 함수의 정의역에 속해야 합니다. 일반적으로 fg와 gf는 식과 정의역이 다릅니다.
- 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.
f(x)=√(x-2)이고 g(x)=1/(x-1일 때, 왜 g(6)는 존재하는데 fg(6)는 정의되지 않습니까?
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합성 함수의 입력은 두 단계 모두를 통과해야 합니다: 내부 함수의 정의역을 거쳐 그 출력이 외부 함수의 정의역에 포함되어야 합니다. 내부 함수의 정의역만 확인하면 두 번째 조건을 놓칩니다.
검증된 사례를 풀이해 보기
- 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.
f(x)=√(x−2), x≥2이고, g(x)=1/(x−1), x≠1일 때, fg(x)=√(1/(x−1)−2)입니다. 이는 1/(x−1)≥2를 요구합니다. 음수 분모는 양수 하한을 만족할 수 없으므로, x>1인 경우 x−1로 곱해도 부호는 유지되어 x≤3/2가 됩니다. 따라서 정의역은 1<x≤3/2입니다. 반대 순서인 gf(x)=1/(√(x−2)−1)는 x≥2이고 √(x−2)≠1, 즉 x≠3이어야 합니다. 정의역은 [2,3)∪(3,∞)입니다. x=6일 때 gf(6)=1이지만, fg(6)는 실수가 아닙니다.
합성함수와 중간 정의역
여기서 fg는 f를 g에 합성한 것을 의미한다: fg(x)=f(g(x)), 곱셈이 아니다.
정의역을 사용하여 역함수 및 합성함수 단계의 타당성을 근거로 제시하라.
주어진 worked functions에 대해 gf(6)를 구하라.
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f(6)=√4=2이므로, g(2)=1/(2−1)=1입니다.
유혹적인 단축법을 시험해 보십시오
- 내부 정의역만 확인하는 것은 충분하지 않습니다. 부호를 결정하기 전에 부등식 양변에 x−1을 곱하지 마십시오. 배제된 중간 분모는 다른 형식이 더 단순하게 보여도 여전히 배제됩니다. 식과 정의역을 함께 제시하여 합성 함수를 정의하십시오.
- 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.
합성 함수는 내부 함수가 정의될 곳이면 어디든 정의됩니다. 이 주장은 틀렸다. 이 주장이 어떤 정의나 가정과 위배되는지 설명하시오.
fg의 정의역에 포함되는 상한 끝점(included upper endpoint)을 구하라.
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x>1인 경우, 1≥2(x−1)를 정리하면 x≤3/2=1.5이 된다.
합성함수는 내부 함수가 정의될 수 있는 모든 지점에서 정의된다.
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내부 정의역만 확인하는 것은 불충분하다. 부등식의 부호를 결정하기 전에 x−1로 곱하지 마라. 다른 형태가 더 단순해 보여도 제외된 중간 분모는 여전히 제외되어야 한다. 공식과 정의역을 함께 제시해야 합성함수를 완전히 정의할 수 있다.
새로운 상황을 해석하십시오
- 중간 값을 추적해 봅시다: gf(6)는 f(6)=2를 거친 뒤 g(2)=1를 계산합니다. fg(5/4)의 경우 g(5/4)=4를 거친 뒤 f(4)=√2을 계산합니다. x=3일 때 f(3)=1는 유효하지만, g(1)은 정의되지 않으므로 gf(3)도 정의되지 않습니다. 구간 표기법으로 모든 유지 또는 배제된 끝점을 표시하십시오.
- 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.
gf에 대해 x≥2 범위 내에서 제외되는 입력(excluded input)을 구하라.
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외부 분모가 0이 되는 조건은 √(x−2)=1일 때이며, 이때 x=3이다.
각 합성 조건에 해당하는 단계를 연결하십시오.
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fg는 먼저 g를 적용하는 것입니다. 전체 정의역은 두 조건을 모두 만족하는 입력의 집합으로, 여기에서는 1<x≤3/2입니다.
과정에 활용하십시오
- 7357 · A-level · B. 확장 과제를 배정하기 전에 목표 등급과 커리큘럼을 먼저 매칭하라.
- 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.
특정 순서에 따라 한 함수의 출력에 다른 함수를 적용하는 것입니다. 관계 관계를 선택하고, 방법을 제시하며, 가정을 검증하고 결과를 해석하시오.