Inverse graphs and restricted branches
도입됨| English | 의미 |
|---|---|
| one-to-one/wʌn tuː wʌn/ | 일대일 대응 |
제곱 모델은 두 개의 다른 입력으로부터 동일한 출력을 낼 수 있습니다. 이를 반전하기 전에 어떤 가지를 선택해야 합니까?
- 제곱 모델은 두 개의 다른 입력으로부터 동일한 출력을 낼 수 있습니다. 이를 반전하기 전에 어떤 가지를 선택해야 합니까?
- 이 수업에서는 일대일 함수(one-to-one) 를 다룹니다: 서로 다른 입력이 항상 서로 다른 출력을 내는 함수입니다.
수학적 구조 선택하기
- 역함수는 입력-출력 매핑을 반전하므로, 원래 함수는 명시된 정의역에서 일대일이어야 합니다. 수직선은 그래프와 최대 한 번만 만납니다. x와 y를 swapping하여 새로운 출력을 구하고 올바른 가지를 유지하십시오. 역함수 그래프는 y=x에 대해 원래 그래프를 대칭이동한 것입니다: 각 점 (a,b)는 (b,a)로 바뀝니다. 원래 정의역과 값역의 역할이互换됩니다.
- 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.
For f(x)=(x-1)²+2 on x≥1, why is the inverse 1+√(x-2) and not 1-√(x-2)?
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Domain and range swap under inversion. Since f took inputs x≥1, f⁻¹ outputs y≥1, forcing the positive root. The x≤1 domain would instead give 1-√(x-2).
검증된 사례를 풀이해 보기
- 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.
Let f(x)=(x−1)²+2 for x≥1. Its range is y≥2. From y=(x−1)²+2, the domain selects x−1≥0, so x=1+√(y−2). Thus f inverse(x)=1+√(x−2), with domain x≥2 and range y≥1. The point (3,6) reflects to (6,3). Checking gives f(f inverse(x))=x for x≥2. In the other order, f inverse(f(x))=1+|x−1|=x for x≥1. Choosing the original domain x≤1 instead gives inverse 1−√(x−2), with range y≤1.
Inverse graphs and restricted branches
An inverse reverses the input-output mapping, so the original function must be one-to-one on its stated domain
Use domains to justify inverse and composite function steps.
For the x≥1 branch, find f inverse(6).
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The selected inverse is 1+√(6−2)=3.
유혹적인 단축법을 시험해 보십시오
- The same quadratic formula on all real inputs is not one-to-one. Do not choose the plus square root without using the original domain. An inverse function is not the reciprocal 1/f(x). A reflected graph needs its domain and range labels as well as its formula.
- 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.
모든 이차함수는 실수 입력에 대해 역함수를 가진다. 이 주장은 틀렸다. 이 주장이 어떤 정의나 가정과 위배되는지 설명하시오.
For f(x)=(x−1)²+2, find f(3).
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f(3)=(3−1)²+2=6.
Every quadratic on all real inputs has an inverse function.
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The same quadratic formula on all real inputs is not one-to-one. Do not choose the plus square root without using the original domain. An inverse function is not the reciprocal 1/f(x). A reflected graph needs its domain and range labels as well as its formula.
새로운 상황을 해석하십시오
- On the branch x≤1, output 6 reverses to input −1, while on x≥1 it reverses to 3. Both are correct for their own original domains. Check both compositions on their actual domains; applying the inverse identity to an input outside the original domain can fail.
- 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.
For the x≤1 branch, find the inverse output at input 6.
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The left-branch inverse is 1−√(6−2)=−1.
Match each inverse-function fact to its statement.
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An inverse is not the reciprocal 1/f(x); it undoes f, so f(f⁻¹(x))=x on the inverse’s domain.
과정에 활용하십시오
- 7357 · A-level · B. 확장 과제를 배정하기 전에 목표 등급과 커리큘럼을 먼저 매칭하라.
- 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.
서로 다른 입력이 항상 서로 다른 출력을 내는 함수입니다. 관계 관계를 선택하고, 방법을 제시하며, 가정을 검증하고 결과를 해석하시오.