Equations quadratic in another expression
도입됨| English | 의미 |
|---|---|
| substitution/ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | 대입 |
A fourth-degree equation can hide an ordinary quadratic. Solving for the new variable is only half the job.
- A fourth-degree equation can hide an ordinary quadratic. Solving for the new variable is only half the job.
- 이 수업에서는 대입법(substitution) 을 다룹니다: 반복되는 식을 새로운 변수로 교체하여 더 간단한 방정식을 드러내는 방법입니다.
수학적 구조 선택하기
- 반복되는 식을 찾아 u로 치환하고, 제한 조건도 함께 명시한다. u에 대한 이차방정식을 푀다. 그 다음, 각 허용된 u 값에 대해 원래 식의 해를 구한다. 모든 최종 후보를 원방정식에 대입하여 검증해야 한다. u에 대한 해가 곧 x에 대한 해는 아니다.
- 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.
For x⁴-5x²+4=0 with u=x², why must u=-2-style roots be rejected?
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The substitution carries its own domain: u≥0. Each valid u then gives TWO x values from the square root; a rejected u gives none. u-values are never themselves the x-solutions.
검증된 사례를 풀이해 보기
- 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.
For x⁴−5x²+4=0, set u=x² with u≥0. Then u²−5u+4=(u−1)(u−4)=0, so x²=1 or 4 and x=±1,±2. For x⁴+x²−2=0, the u-equation is (u−1)(u+2)=0: u=−2 is impossible for real x, leaving x=±1. For (x+1)²−5(x+1)+6=0, set u=x+1: u=2 or 3 gives x=1 or 2. For 3^(2x)−4×3^x+3=0, set u=3^x>0: u=1 or 3 gives x=0 or 1.
Equations quadratic in another expression
Identify a repeated expression and write u for it, including any restrictions
Find the first valid or invalid step in a quadratic method.
Find the largest real solution of x⁴−5x²+4=0.
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The u roots 1 and 4 give x=±1,±2; the largest is 2.
유혹적인 단축법을 시험해 보십시오
- u=1와 u=4을 사차방정식의 x 해로 제시하지 마라. 제곱근을 취할 때는 양과 음의 부호 모두를 고려해야 하지만, 주제곱근 표현은 항상 비음수이다. u에 대한 이차방정식이 두 실수근을 가질 수 있으나, 그 중 하나 혹은 둘 다 u의 정의역에서 벗어날 수 있다.
- 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.
치환 변수에 대한 두 근은 반드시 x에 대해 정확히 두 개의 실수해를 줄 것이라는 주장은 틀렸다. 이 주장이 어떤 정의나 가정 위반을 나타내는지 설명하시오.
Find the smaller solution of (x+1)²−5(x+1)+6=0.
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u=x+1 gives u=2 or 3, hence x=1 or 2.
Two roots in the substituted variable always give exactly two real solutions in x.
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Do not report u=1 and u=4 as the x solutions of the quartic. Taking a square root needs both signs, but a principal square-root expression is nonnegative. A quadratic in u can have two real roots while one or both violate u’s domain.
새로운 상황을 해석하십시오
- 반복되는 식을 정확히 치환하는 것을 선택하라: 3^(2x)=(3^x)²이지만, 3^(x²)는 다른 식이다. 다시 x로 돌아온 후 distinct한 실수 x 해의 개수를 세어야 하며, 치환 단계에서는 세지 말아야 한다. 직접 대입으로 검증해 보라: x=−2일 때 첫 번째 사차방정식에서 16−20+4=0이 된다.
- 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.
How many distinct real solutions does x⁴−5x²+4=0 have?
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The four distinct values −2,−1,1,2 all satisfy the original equation.
Match each substitution step to its purpose.
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Every candidate returns to the original variable and is checked; the restriction on u comes from what u stands for.
과정에 활용하십시오
- 7357 · A-level · B. 확장 과제를 배정하기 전에 목표 등급과 커리큘럼을 먼저 매칭하라.
- 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.
반복되는 식을 새로운 변수로 대체하여 더 간단한 방정식을 드러낸다. 관계식을 선택하고, 방법을 제시하며, 가정 조건을 확인하고 결과를 해석하시오.