Repeated linear factors in partial fractions
도입됨| English | 의미 |
|---|---|
| repeated factor/rɪˈpiːtɪd ˈfæktə/ | 중복 인수 |
제곱 인자가 왜 두 개의 항을 필요로 하나요?
- 제곱 인자는 두 개의 별개의 항을 필요합니다. 제곱 항만 남기면 분자를 복원할 수 있는 계수가 너무 적어질 수 있습니다.
- 이 수업에서는 **중복 인자(repeated factor)**를 다룹니다: 분모의 인자가 두 번 이상 나타날 때, 각 지수에 대해 하나의 항이 필요합니다.
수학적 구조 선택하기
- 중복 인자 (x+a)²에 대해서는 A/(x+a)+B/(x+a)²를 포함합니다. 서로 다른 인자 x+b에 대해서는 C/(x+b)를 추가합니다. 분모를 소거하고 편리한 계수를 구한 후, 남은 미지수에 대해 다른 입력값이나 계수 비교를 사용하십시오.
- 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.
Why does (x+1)²(x+2) need BOTH A/(x+1) and B/(x+1)², not just one of them?
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
With only B/(x+1)²+C/(x+2), clearing denominators cannot match every coefficient. The full set A/(x+1)+B/(x+1)²+C/(x+2) makes 2x+3=A(x+1)(x+2)+B(x+2)+C(x+1)² solvable: B=1, C=-1, A=1.
검증된 사례를 풀이해 보기
- 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.
(2x+3)/[(x+1)²(x+2)]에 대해, 항등식은 2x+3=A(x+1)(x+2)+B(x+2)+C(x+1)²입니다. x=−1일 때, B=1입니다. x=−2일 때, C=−1입니다. x²의 계수는 A+C=0을 주어, 따라서 A=1입니다. 결과는 1/(x+1)+1/(x+1)²−1/(x+2)이며, x≠−1, −2입니다. x=0일 때 양변은 모두 3/2이며, 재조합을 통해 모든 허용 가능한 x에 대해 분자는 2x+3이 됩니다.
Repeated linear factors in partial fractions
For a repeated factor (x+a)², include A/(x+a)+B/(x+a)²
Classify the algebraic steps and identify the identity or domain condition behind each decision.
Find B, the squared-factor coefficient in the worked decomposition.
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At x=−1 in the identity, 1=B.
유혹적인 단축법을 시험해 보십시오
- 일차 항을 생략하거나 각 선형 인자 위에 Ax+B를 두지 마십시오. 한 지점에서의 수학적 일치성은 단순한 확인일 뿐, 항등식의 증명은 아닙니다. 제곱 항은 독립된 분모에 남겨두어야 합니다.
- 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.
모든 분모 (x+1)²(x+2)에 대해, (x+1)² 위에 하나의 항과 x+2 위에 하나의 항만 있어도 항상 충분하다는 주장은 틀렸습니다. 이 주장이 어떤 정의나 가정과 모순되는지 설명하십시오.
Find C, the coefficient of 1/(x+2).
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At x=−2, −1=C.
For every denominator (x+1)²(x+2), one term over (x+1)² and one over x+2 are always enough.
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Do not omit the first-power term or place Ax+B over each linear factor. A numerical agreement at one point is only a check, not an identity proof. Keep the square on its own denominator.
새로운 상황을 해석하십시오
- 7357은 제곱 선형 인자와 최대 세 개의 부분분해 항을 허용합니다. 재조합 후 모든 분자 계수를 검증하십시오. 더 높은 지수와 환원 불가능한 이차 인자는 이 수업의 과정 범위를 벗어납니다.
- 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.
Find A, the coefficient of 1/(x+1).
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The x² coefficient gives 0=A+C; since C=−1, A=1.
Match each denominator factor to its partial-fraction terms.
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Each power of a repeated factor gets its own constant numerator; a linear Ax+B belongs over an irreducible QUADRATIC, not here.
과정에 활용하십시오
- 7357 · A-level · B. 확장 과제를 배정하기 전에 목표 등급과 커리큘럼을 먼저 매칭하라.
- 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.
분모의 인자가 두 번 이상 나타날 때, 각 지수에 대해 하나의 항이 필요합니다. 관계를 선택하고, 방법을 제시하며, 가정을 검증하고 결과를 해석하십시오.