Irrational roots and infinitely many primes
도입됨| English | 의미 |
|---|---|
| proof by contradiction/pruːf baɪ ˌkɒntrəˈdɪkʃn/ | 모순법 |
왜 √2는 정확한 분수가 될 수 없습니까?
- 계산기는 √2의 유한한 자릿수만 출력합니다. 해당 자릿수로는 정수의 정확한 비가 존재하는지 결정할 수 없습니다.
- 이 수업은 반증법을 다룹니다: 주장의 부정(부정명제)을 가정하여 모순을 유도하는 증명입니다.
수학적 구조 선택하기
- √2이 무리수임을 증명하려면, p와 q가 서로소인 정수(nondezero)이며 √2=p/q라고 가정하십시오. 그러면 p²=2q²로 인해 p가 짝수임이強制됩니다. p=2r로 표기하면 q도 짝수가 됩니다. 이는 서로소성과 모순됩니다. 소수가 무한히 많음을 증명하려면 완전한 유한 소수 목록을 가정하고, 나열된 소수 약수를 가지지 않는 수를 구성하십시오.
- 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.
In the √2 proof, why does p²=2q² force p to be even?
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p²=2q² makes p² even; since odd integers square to odd results, p itself must be even. Writing p=2r then forces q²=2r², so q is even too - contradicting coprimality.
검증된 사례를 풀이해 보기
- 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.
p²=2q²이고 p=2r이므로, q²=2r²을 얻습니다. p와 q 모두 2 인자를 가지게 되어 최간분lowest terms과 모순됩니다.仮定的으로 완전한 소수 목록 p₁,…,pₖ이 있다고 가정하고, N=p₁⋯pₖ+1이라 두십시오. N>1이므로 어떤 소수 약수를 가지만, 나열된 모든 소수는 N을 나눌 때 나머지 1을 남깁니다. 이 약수는 새로운 소수이므로 완전성에 모순이 생깁니다. N 자체는 반드시 소수일 필요는 없습니다: 2×3×5×7×11×13+1=30031=59×509입니다.
Irrational roots and infinitely many primes
To prove √2 irrational, assume √2=p/q for coprime integers p,q with q nonzero
Classify each argument and explain the condition that makes it valid or incomplete.
If p=2r and p²=2q², what coefficient multiplies r² in q²?
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4r²=2q², so q²=2r².
유혹적인 단축법을 시험해 보십시오
- 짝수 제곱 단계에는 근거가 필요합니다: 홀수 정수 2r+1의 제곱은 4r(r+1)+1입니다. 소수 증명은 'product-plus-one'이 항상 소수라는 주장이 아니라, 새로운 소수 약수를 요구합니다. 모순은 명시된 가정을 타격해야 합니다.
- 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.
어떤 유한한 소수 목록의 곱에 1을 더하면 항상 소수입니다. 이 주장은 거짓입니다. 이 주장이 위배하는 정의나 가정은 무엇인지 설명하십시오.
For the prime list 2,3,5, compute the product-plus-one number.
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2×3×5+1=31.
The product of any finite list of primes plus one is always prime.
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The even-square step needs a reason: an odd integer 2r+1 has odd square 4r(r+1)+1. The prime proof needs a new prime divisor, not a claim that product-plus-one is always prime. A contradiction must attack the stated assumption.
새로운 상황을 해석하십시오
- 낯선 증명에 대해서는 반대 가정을 명확하게 서술하고, 그 조건을 유지하며, 정확한 모순을 명명하십시오. 십진수 근사값이나 큰 유한한 목록은 이 두 주장의 진위 여부를 결론짓지 못합니다.
- 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.
Find the remainder when 30031 is divided by 13.
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30031=13×2310+1.
Match each contradiction-proof ingredient to its role.
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The contradiction must attack the stated assumption; in the primes proof, N need not itself be prime - 30031=59×509.
과정에 활용하십시오
- 7357 · A-level · A. 연장 과제를 배정하기 전에 타겟 계층과カリキュラム(규격)을 일치시키십시오.
- 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.
주장의 부정을 가정하여 모순을 유도하는 증명입니다. 관계를 선택하고, 방법을 제시하며, 가정을 점검하고 결과를 해석하십시오.