Complete cases and counterexamples
도입됨| English | 의미 |
|---|---|
| proof by exhaustion/pruːf baɪ eɡˈzɔːstʃn/ | 완전 증명 |
세 가지 사례가 모든 정수를 포괄할 때는 언제인가?
- 천 개의 정수를 테스트하면 다음 반례를 놓칠 수 있습니다. 대신 가능한 나머지 값의 완전한 목록으로 모든 정수를 해결할 수 있습니다.
- 이 수업은 완전 나열에 의한 증명을 다룹니다: 유한하고 완전한 경우의 집합에서 모든 가능성을 검토하는 증명입니다.
수학적 구조 선택하기
- 정수 k에 대해 n=3k, 3k+1 또는 3k+2로 니다. 이들은 negative integers를 포함한 3로 나누었을 때의 가능한 모든 나머지입니다. 각 경우의 식을 계산하십시오. 한 개의 반례만으로 보편적 주장을 반박할 수 있으며, 주장을 지지하는 예시만으로는 증명이 성립하지 않습니다.
- 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.
Why does checking n=0,1,2 not prove a claim about every integer’s remainder on division by 3?
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The three remainder classes with a general k cover every integer, positive or negative, in one argument each. Checking sample values verifies only those values.
검증된 사례를 풀이해 보기
- 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.
n=3k일 때, n²=9k²은 3로 나뉩니다. n=3k+1일 때, n²=3(3k²+2k)+1입니다. n=3k+2일 때, n²=3(3k²+4k+1)+1입니다. 따라서 정제곱수는 나머지 0 또는 1을 가지며, 절대 2을 가지지 않습니다. n²+n+41이 항상 소수라는 주장은 n=41에서 성립하지 않습니다: 그 값은 1763=41×43입니다.
Complete cases and counterexamples
Write n=3k, 3k+1 or 3k+2 for integer k
Classify each argument and explain the condition that makes it valid or incomplete.
How many remainder cases are needed for division by 3?
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The possible remainders are 0,1,2, giving three cases.
유혹적인 단축법을 시험해 보십시오
- 유한한 표본은 가능한 모든 경우를 포함하지 않는다면 완전 나열이 아닙니다. n=0,1,2만을 확인하는 것은 충분하지 않습니다: 임의의 정수 k가 포함된 식들은 모든 정수를 정당화합니다.
- 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.
주장이 첫 번째 백 정수에 대해 성립한다면, 모든 정수에 대해 증명된 것이다. 이 주장은 틀렸다. 이 주장이 위배하는 정의나 가정은 무엇인지 설명하시오.
What remainder does 8² have on division by 3?
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64=3×21+1.
If a claim works for the first hundred integers, it has been proved for all integers.
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A finite sample is not exhaustion unless it contains every possible case. Checking n=0,1,2 alone is not enough: the expressions involving arbitrary integer k justify all integers.
새로운 상황을 해석하십시오
- 완전한 경우 분할(예: 짝/홀수, 나눈 나머지)을 선택하십시오. 누락된 경우가 없는 이유를 명시하십시오. 부정한 보편적 주장의 경우, 유효한 입력값을 제시하고 실패를 직접 검증하십시오.
- 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.
Evaluate n²+n+41 at n=41.
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41²+41+41=1763=41×43.
Match each proof outcome to what establishes it.
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A finite complete case list proves by checking each case; a finite INCOMPLETE sample is just evidence.
과정에 활용하십시오
- 7357 · A-level · A. 연장 과제를 배정하기 전에 타겟 계층과カリキュラム(규격)을 일치시키십시오.
- 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.
유한하고 완전한 경우의 집합에서 모든 가능성을 검토하는 증명입니다. 관계를 선택하고, 방법을 제시하며, 가정을 점검하고 결과를 해석하십시오.