| English | 의미 |
|---|---|
| Squeeze Theorem/skwiːz ˈθɪərəm/ | 조임 정리 |
| inequality/ɪniːˈkwɒlɪti/ | 부등식 |
Trap a wild function between two tame ones
- Some limits resist substitution and algebra — like $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2\sin\tfrac1x$, which wiggles infinitely fast.
- The escape: trap the messy function between two friendlier ones.
- If the upper and lower "walls" both head to the same height, the trapped function has nowhere else to go.
- This is the Squeeze Theorem 夹逼定理 (also called the Sandwich Theorem).
동일한 극한을 가진 두 함수 사이에 함수를 갇아두는 데 사용되는 ____ 정리입니다.
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샌드위치 정리라고도 합니다.
What the theorem says
- Suppose near $c$ (except maybe at $c$ itself) we have $g(x)\le f(x)\le h(x)$.
- If $\displaystyle\lim_{x\to c}g(x)=\lim_{x\to c}h(x)=L$, then $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=L$ too.
- The two bounds squeeze $f$ onto the single value $L$.
- You need two things: a valid inequality 不等式 near $c$, and equal limits for the bounds.
$f$이 $c$ 근처일 때 RED夹定理를 적용하려면 모든 다음 사항이 필요합니다...
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$c$ 근처에서 동일한 한계를 가지는 양쪽 경계가 필요합니다. $f$가 반드시 다항함수가 아니어도 됩니다—이것이 바로 이 문제의 핵심입니다.
The classic wiggle
- $\sin\tfrac1x$ swings between $-1$ and $1$ forever as $x\to0$ — no limit on its own.
- But multiply by $x^2$: since $-1\le\sin\tfrac1x\le1$, we get $-x^2\le x^2\sin\tfrac1x\le x^2$.
- Both walls $\pm x^2 \to 0$ as $x\to0$.
- Squeezed between them, $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2\sin\tfrac1x=0$.
REDIS夹벽 $y=x^2$
y = ax²
포물선 $y=x^2$과 그鏡像 $-x^2$ 모두 원점에서 $0$로 조임 — 그 사이에 갇힌 모든 것은 강제로 $0$로 향합니다.
$-x^2\le x^2\sin\tfrac1x\le x^2$을 사용하여 $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2\sin\tfrac1x$를 구하십시오.
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두 벽이 모두 $\pm x^2\to 0$이므로, 갇힌 함수는 $\to 0$입니다.
Checking the setup honestly
- The inequality only has to hold near $c$, not everywhere — a small interval around $c$ is enough.
- The bounds' limits must be equal; if the walls head to different heights, the theorem says nothing.
- Squeeze is the standard route to the famous $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$, from the geometric bounds $\cos x \le \frac{\sin x}{x}\le 1$.
- Always name your two bounding functions explicitly — that is the heart of the argument.
상방만 경계$f$하고, 하방경계$f(x)\le h(x)$라면 RED夹定理를 적용하기에 충분합니다.
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양변에 경계가 있고 동일한 극한이 있어야 합니다 — 하나의 경계만으로는 아무것도 증명되지 않습니다.
REDIS夹定理는 $\cos x\le\tfrac{\sin x}{x}\le 1$을 사용하여 $\displaystyle\lim_{x\to0}\tfrac{\sin x}{x}=$를 제공합니다.
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$x\to0$이 될 때, $\cos x\to1$와 상한이 $1$이므로 중간값은 $1$로 조여집니다.
하한이 $2$로, 상한이 $5$로 향한다면, RED夹定理는 갇힌 극한이...임을 알려줍니다.
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경계는 동일한 극한을 가져야 하며, 서로 다른 벽에서는 결론을 내릴 수 없습니다.
The Squeeze Theorem needs the bounds to squeeze from both sides with equal limits. If you only bound $f$ from above ($f\le h$), or the two bounds head to different values, you have proved nothing. And the inequality must genuinely hold near $c$ — check it, don't assume it.
Show $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2\cos\tfrac1x=0$.
- For all $x\neq0$: $-1\le\cos\tfrac1x\le1$.
- Multiply by $x^2\ (\ge0)$: $-x^2\le x^2\cos\tfrac1x\le x^2$.
- $\displaystyle\lim_{x\to0}(-x^2)=0$ and $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2=0$.
- By the Squeeze Theorem, the middle limit is also $0$.
The Squeeze Theorem: if $g\le f\le h$ near $c$ and $\lim g=\lim h=L$, then $\lim f=L$. Use it when a function oscillates or otherwise resists direct methods — bound it above and below by functions with equal limits, verify the inequality near $c$, and $f$ is trapped onto $L$.