| English | 의미 |
|---|---|
| Product Rule/ˈprɒdʌkt ruːl/ | 곱의 법칙 |
곱에 별도의 규칙이 필요한 이유
- 유혹적이지만 틀린 생각: 두 함수의 곱의 미분함수는 미분함수들의 곱이 아닙니다.
- $\dfrac{d}{dx}[x\cdot x]=\dfrac{d}{dx}[x^2]=2x$일 수 있지만, $f'g'=1\cdot1=1$일 수도 있습니다. 서로 다릅니다.
- 곱에 전용 도구가 필요합니다: 곱의 미분법(Product Rule).
- 이는 두 인자가 동시에 변함을 반영합니다.
The derivative of $f\cdot g$ equals $f'\cdot g'$.
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It is $f'g+fg'$, not $f'g'$.
공식
- 두 함수의 곱에 대해:
-
$$\frac{d}{dx}\big[f\,g\big]=f'\,g+f\,g'$$
- 말로 표현하면: "첫 번째의 미분함수 × 두 번째 + 첫 번째 × 두 번째의 미분함수"입니다.
- 각 항은 한 인자만 미분하고 다른 한 인자는 그대로 두어 더합니다.
The Product Rule states $\dfrac{d}{dx}[fg]=$
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Derivative of first times second, plus first times derivative of second.
깔끔한 풀이 패턴
- $y=x^2\,e^x$를 미분합니다. $f=x^2$과 $g=e^x$이라고 두세요.
- $f'=2x$, $g'=e^x$.
- $y'=f'g+fg'=2x\,e^x+x^2\,e^x$.
- 인수가 필요하면 인수분해하십시오: $y'=x e^x(2+x)$.
A product's changing slope
y = ax² + bx
A product like $x^2 e^x$ has a slope that mixes both factors — the Product Rule captures both changing at once.
Differentiate $y=x^2 e^x$.
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$f'g+fg'=2x e^x+x^2 e^x$.
For $y=x\sin x$, use the product rule to find $y'$ at $x=0$. (Recall $\sin 0=0$, $\cos 0=1$.)
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$y'=\sin x+x\cos x$; at $0$: $0+0\cdot1=0$.
실제로 필요할 때
- 곱의 형태가 먼저 전개될 수 있다면, 그렇게 하십시오 — 더 쉬울 수 있습니다 ($x^2\cdot x^3=x^5\Rightarrow5x^4$).
- 그러나 인자가 간소화되지 않을 때(예: $x^2\sin x$ 또는 $e^x\ln x$), 공식이 필수적입니다.
- 각 인자에 대해 지수 법칙과 기본 미분함수와 자유롭게 결합하세요.
- 먼저 $f,f',g,g'$를 표시하세요 — 체계적인 과정은 실수를 방지합니다.
For $y=x^2\cdot x^3$, the smartest first move is to...
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Simplifying to $x^5$ first is easier: $5x^4$. Use the Product Rule only when factors won't combine.
In each term of the Product Rule, which is true?
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One factor per term is differentiated; the two terms are summed. Differentiating both in one term is the classic error.
곱의 미분법은 $f'g+fg'$이며, 아니고 $f'g'$도 아닙니다. 두 항 모두 필요하며, 각 항은 다른 인자는 미분하지 않습니다. 매우 흔한 실수는 같은 항에서 두 인자를 모두 미분하는 것입니다 — 하지 마십시오. 각 항마다 정확히 한 인자만 미분해야 합니다.
함수 $y=(3x^2)(\sin x)$를 미분하십시오.
- $f=3x^2\Rightarrow f'=6x$; $\quad g=\sin x\Rightarrow g'=\cos x$.
- $y'=f'g+fg'=6x\sin x+3x^2\cos x$.
- 어떤 인자도 간소화할 수 없으므로 곱의 미분법이 필요했습니다.
곱의 미분법: $\frac{d}{dx}[fg]=f'g+fg'$ — 한 번에 한 인자씩 미분하고 더합니다. 미분 가능한 함수의 곱을 먼저 간소화할 수 없을 때 항상 사용하십시오. 이는 아니고 $f'g'$도 아닙니다; 각 항은 정확히 한 인자만 미분합니다.