| English | 의미 |
|---|---|
| estimate/ˈestɪmət/ | 추정값 |
| difference quotient/ˈdɪfrəns ˈkwəʊʃənt/ | 차상 |
Measuring a slope you can't compute exactly
- Sometimes you have a graph or a table, not a formula — but you still want $f'$ at a point.
- You can estimate the derivative from what you have.
- From a graph: measure the steepness of the tangent line by eye.
- From a table: use a difference quotient over the closest available inputs.
눈으로 기울기를 추정하십시오.
y = x²
점을 이동하고 접선을 관찰하십시오 — 그 경사도는 그래프에서 추정할 수 있는 미분 값입니다.
From a graph: tangent steepness
- Draw (or imagine) the tangent line at the point, then read its slope as rise ÷ run.
- Pick two clear points on the tangent, not on the curve, and compute $\tfrac{\Delta y}{\Delta x}$.
- Steeper tangent → larger $|f'|$; a flat tangent → $f'\approx0$.
- Uphill tangent → positive derivative; downhill → negative.
그래프에서 $f'(a)$을 추정하려면 ...의 기울기를 측정해야 합니다.
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미분은 접선 직线上的 점들을 읽어온 접선 기울기입니다.
From a table: nearest difference quotient
- With table values, approximate $f'(a)$ by the difference quotient over the closest points:
- A symmetric estimate is best: $f'(a)\approx\dfrac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}$, using one point on each side.
- Or use a one-sided quotient $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ if only one neighbor is available.
- Smaller $h$ (closer inputs) generally gives a better estimate 估计值.
표에 $f(1.9)=4.2$과 $f(2.1)=5.8$이 주어졌습니다. 대칭 차분 곱을 사용하여 $f'(2)$을 추정하십시오.
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$\dfrac{5.8-4.2}{2(0.1)}=\dfrac{1.6}{0.2}=8$.
지점에 더 가까운 입력 값을 사용하는 것은 일반적으로 표 기반 미분 추정을 개선합니다.
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더 작은 구간이 접선 기울기에 더 잘 근사합니다.
표나 그래프에서 읽은 미분은 정확한 값이 아닌 ____입니다.
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공식에 대한 대수 연산만이 정확한 미분을 제공합니다.
$f(3)=10$과 $f(3.2)=11.4$을 사용하여 한쪽 차분 곱으로 $f'(3)$을 추정하십시오.
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$\dfrac{11.4-10}{3.2-3}=\dfrac{1.4}{0.2}=7$.
Reading sign and size
- The sign of the estimate says which way $f$ is heading: $+$ rising, $-$ falling.
- The size says how fast: a derivative of $12$ means $f$ changes about $12$ units per unit of $x$ there.
- Always attach units and interpret in context (e.g. "the temperature is rising about $2^\circ$C per minute").
- An estimate is an approximation — say so, and use the closest data you have.
지점에서의 추정된 미분이 음수이면, 해당 지점의 함수는 ...입니다.
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음의 변화율은 함수가 그곳에서 감소함을 의미합니다.
When estimating from a graph, read the slope of the tangent line, not of a nearby secant, and take your two points off the tangent, not off the curve. From a table, don't reuse the point $a$ itself as both inputs — you need two different inputs bracketing (or approaching) $a$.
A table gives $f(1.9)=4.2$, $f(2)=5.0$, $f(2.1)=5.9$. Estimate $f'(2)$.
- Symmetric difference quotient: $f'(2)\approx\dfrac{f(2.1)-f(1.9)}{2(0.1)}=\dfrac{5.9-4.2}{0.2}=\dfrac{1.7}{0.2}=8.5$.
- (A one-sided estimate $\dfrac{5.9-5.0}{0.1}=9$ is close but less balanced.)
- So $f'(2)\approx8.5$ — $f$ is rising at about $8.5$ units per unit of $x$.
To estimate a derivative: from a graph, read the slope of the tangent line (rise ÷ run using points on the tangent); from a table, use a difference quotient over the closest inputs — the symmetric quotient $\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}$ is most accurate. The sign gives direction, the size gives rate.