| English | 의미 |
|---|---|
| discharge/dɪsˈtʃɑːdʒ/ | 방전 |
| time constant/taɪm ˈkɒnstənt/ | 시간 상수 |
| exponential decay/ˌekspəˈnenʃl dɪˈkeɪ/ | 지수 감쇠 |
The decay that never quite finishes
- A discharging capacitor loses 63% of its charge in the first time constant, then 63% of what remains in the next, and so on for ever.
- After five time constants less than 1% is left, but the curve never reaches zero. It cannot, because the rate of loss is always proportional to how much is left.
- Every quantity that behaves that way, radioactive decay included, gives the same curve, so learning it once serves twice.
- This lesson is the discharge 放电 equations, the time constant 时间常数, and the log plot that turns the curve into a straight line.
Where the exponential comes from
- Close the switch and the capacitor's p.d. drives a current through the resistor. Kirchhoff's second law gives $V_C = V_R$, and with $V_C = Q/C$, $V_R = IR$ and $I = -dQ/dt$:
- The rate of loss is proportional to the charge remaining. That is the defining property of exponential decay 指数衰减, and it is why the curve flattens as it falls.
저항기를 통한 방전 중 콘덴서의 전하:
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
전하가 클수록 전류도 커져 지수 감쇠를 만듭니다.
왜 콘덴서의 방전은 지수함수적인가?
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
Q/C = -R dQ/dt는 이를 정확히 말해 줍니다. 이 성질을 가진 모든 물체(방사성 붕괴 포함)는 동일한 곡선을 보입니다.
The three equations
- Charge, p.d. and current all decay together, with the same time constant:
- The current is largest at the instant the switch closes, $I_0 = V_0/R$, because the full initial p.d. is then across the resistor. It falls as the p.d. falls.
- The area under the current-time graph is the charge that has flowed. All three curves have the same shape, so measuring $\tau$ from any one of them gives $RC$.
Steep at first, then ever flatter, and never quite zero
전하/방전 곡선
전압은 시간 상수 τ = RC에 따라 지수함수적으로 상승(또는 감쇠)합니다.
콘덴서 방전
Q = Q₀·bᵗ
전하 감쇠는 저항기를 통해 지수함수적으로 감소합니다.
방전 중의 전하량은 다음과 같이 주어집니다:
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
방전은 0으로 향합니다: $Q = Q_0 e^{-t/RC}$ ($1 - e^{-t/RC}$ 형식은 충전용입니다).
The time constant
- The time constant is:
- Its unit is the second, since an ohm times a farad is a second.
- It is the time for the decaying quantity to fall to $\dfrac{1}{e} \approx 37\%$ of its starting value. After $2\tau$ about 13.5% remains, and after $5\tau$ less than 1%.
- A large $R$ or a large $C$ means a slow discharge: a big store emptying through a narrow pipe.
용량 $500\ \mu\text{F}$인 콘덴서가 저항 $2000\ \Omega$을 통해 방전됩니다. 시간 상수는 얼마입니까?
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
$\tau = RC = 2000 \times 500 \times 10^{-6} = 1.0\ \text{s}$.
한 시간 상수 후 전하량은 초기 값의 약 ____ %까지 떨어집니다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
초기 값의 $\dfrac{1}{e} \approx 0.37$, 즉 약 37%까지 떨어집니다.
5개의 시간 상수 후 전하량의 1% 미만만 남습니다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
$e^{-5} \approx 0.0067$이므로 1% 미만으로 남겨져 — 사실상 완전히 방전되었습니다.
24 V로 충전된 콘덴서가 5.6 kΩ 저항기를 통해 방전됩니다. 초기 전류는 mA 단위로 얼마입니까?
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
스위치가 닫히는 순간 전체 전압이 저항기에 걸리므로 I0 = V0/R = 24/5600 = 4.3 mA입니다. 이후 전하와 동일한 시간 상수로 감쇠합니다.
Worked example: a full discharge question
- A $470\ \mu\text{F}$ capacitor charged to $24\ \text{V}$ discharges through a $5.6\ \text{k}\Omega$ resistor. Find the time constant, the initial current, the p.d. after $4.0\ \text{s}$, and the time for the p.d. to fall to $6.0\ \text{V}$.
- $\tau = RC = (5.6 \times 10^3)(470 \times 10^{-6}) = 2.6\ \text{s}$, and $I_0 = V_0/R = 24/5600 = 4.3\ \text{mA}$.
- After $4.0\ \text{s}$: $V = V_0 e^{-t/RC} = 24\,e^{-4.0/2.63} = 5.3\ \text{V}$.
- For the time, take logarithms: $t = -RC\ln(V/V_0) = -2.63\ln(6.0/24) = 3.6\ \text{s}$.
- Keep $\tau$ unrounded inside the calculation and round only at the end. And note that $\ln(V/V_0)$ is negative, so the minus sign makes $t$ positive: that rearrangement is the most often asked and the most often botched.
한 시간 상수 후 콘덴서에 원래 전하량의 약 37%가 남아 있습니다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
초기 값의 1/e, 약 37%까지 떨어집니다. 두 번 후에는 약 13.5%, 다섯 번 후에는 1% 미만이 되지만 절대 0에 도달하지는 않습니다.
Worked example: reading $\tau$ off a graph
- The p.d. across a $2200\ \mu\text{F}$ capacitor falls from $6.0\ \text{V}$ to $2.2\ \text{V}$ in $4.5\ \text{s}$. Find the resistance.
- Check the ratio first: $2.2/6.0 = 0.367$, which is $1/e$. So $4.5\ \text{s}$ is one time constant.
- Then $R = \tau/C = 4.5/(2200 \times 10^{-6}) = 2.0 \times 10^3\ \Omega$.
- If the fall is not to $1/e$, use $RC = -t/\ln(V/V_0)$ instead. The answer is the same either way, but spotting the $1/e$ saves a step.
시간 상수가 2.63 s인 콘덴서가 24 V로 충전되었습니다. 전압이 6.0 V까지 떨어지려면 초 단위로 얼마나 걸립니까?
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
t = -RC ln(V/V0) = -2.63 ln(0.25) = 3.6 s입니다. ln(0.25)은 음수이므로 마이너스 부호가 t를 양수로 만듭니다; 이 변형 과정이 가장 자주 실수하는 부분입니다.
The log plot
- Take logarithms of $V = V_0 e^{-t/RC}$:
- So a graph of $\ln V$ against $t$ is a straight line with gradient $-1/RC$ and intercept $\ln V_0$.
- This is the standard experimental method: it turns a curve into a line, so $RC$ comes from a gradient rather than from a single reading, and any departure from a straight line shows the decay is not exponential.
2200 uF 정류기(커패시터)의 단차(p.d.)가 6.0 V에서 2.2 V로 4.5초 동안 감소할 때, 저항을 구하는 단계의 올바른 순서를 나열하시오.
난이도 3/5 · 200 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
감쇠가 1/e가 아니라면 RC = -t/ln(V/V0)를 사용하십시오. 답은 동일하지만 1/e를 식별하면 단계를 하나 절약할 수 있습니다.
Marks that slip away
- $\tau = RC$ is a time, in seconds, not a fraction. After one $\tau$ the quantity is at 37%, not 63% gone and stopped.
- The current is largest at the start, when the whole p.d. is across the resistor, and it decays with the same time constant as the charge.
- To find a time, take logs: $t = -RC\ln(V/V_0)$. Keep the time constant unrounded through the working.
- On a $\ln V$ against $t$ plot the gradient is $-1/RC$, so $RC$ is minus the reciprocal of the gradient.
방전 중인 콘덴서의 ln V 대 t 그래프는 직선입니다. 이 그래프의 기울기는 무엇입니까?
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
V = V0 exp(-t/RC)의 양변에 로그를 취하면 ln V = ln V0 - t/RC가 됩니다. 따라서 RC는 기울기의 역수의 부호를 반대로 한 값이며, 직선 자체는 감쇠가 지수함수적임을 입증합니다.
You've got it
- the rate of loss is proportional to the charge left, so the decay is exponential: $Q = Q_0e^{-t/RC}$, and $V$ and $I$ decay identically
- the current starts at $I_0 = V_0/R$ and the area under the current-time graph is the charge that has flowed
- the time constant $\tau = RC$ is the time to fall to $1/e \approx 37\%$; after $5\tau$ less than 1% remains
- take logs to find a time, $t = -RC\ln(V/V_0)$, and a plot of $\ln V$ against $t$ is a straight line of gradient $-1/RC$