| English | 의미 |
|---|---|
| escape velocity/eˈskeɪp vəˈlɒsɪti/ | 탈출 속도 |
| gravitational potential/ˌɡrævɪˈteɪʃənl pəˈtenʃl/ | 중력ポテンシャル |
| infinity/ɪnˈfɪnɪti/ | 무한대 |
| gravitational potential energy/ˌɡrævɪˈteɪʃənl pəˈtenʃl ˈenədʒi/ | 중력 포텐셜 에너지 |
| tightly bound/ˈtaɪtli baʊnd/ | 강하게 결속됨 |
영원히 탈출하는 데 얼마나 빠르야 할까?
- 공을 위로 던지면 돌아옵니다. 충분히 빠르게 던지면 다시 돌아오지 않습니다.
- 그 "다시 돌아오지 않는" 속도를 탈출 속도라고 합니다.
- 이를 구하려면 중력ポテンシャル이 필요합니다.
중력ポテンシャル
- $\phi$는 무한대에서 작은 시험 질량을 한 점까지 가져오는 데 단위 질량당 하는 일: $\phi = \dfrac{W}{m}$. 단위는 $\dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$입니다.
- 무한대에서 0으로 설정하므로, $\phi = -\dfrac{GM}{r}$는 그 외의 모든 곳에서 음수입니다.
중력ポテンシャル
V = −GM / r
ポテンシャル ∝ −1/r — 질량 근처에서 깊게, 거리와 함께 평평해짐.
중력ポテン셜은:
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질량이 떨어지면서 중력이 일을 하므로 $\phi = -\dfrac{GM}{r}$은 음수이며, 무한대에서만 0이 된다.
중력ポテン셜은 ____에서 0으로 정의된다.
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그 선택은 실제 질량이 있는 곳 어디에서도ポテン셜이 음수가 되게 한다.
중력 위치 에너지
- 질량 $m$가 퍼텐셜 $\phi$에 있을 때 에너지는 $E_{\text{P}} = m\phi = -\dfrac{GMm}{r}$이다.
- 음수입니다; 더 가까운 질량은 더 음수이며—더 단단히 묶여 있습니다.
중력은 행성을 원형 궤도에 유지시키는 approcentripetal force를 제공합니다
더 가까이 있는 두 질량은 더 음수인(더 낮은) 중력ポテン셜 에너지를 가진다.
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$E_{\text{P}} = -\dfrac{GMm}{r}$ — 작은 $r$은 더 음수인 값을 가지며, 즉 더 단단하게 묶인 쌍을 의미한다.
각 용어를 감점 기준에 맞는 정의와 매칭하십시오.
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이 중 두 가지는 단위 질량당이고 하나는 Work 단위 질량당이다. 그 단일 단어こそ가 포텐셜과 장 세기를 구분한다.
와 $mg\Delta h$의 연결
- 지표면 근처의 작은 높이 변화에서는 $r$가 거의 변하지 않으므로 $\Delta E_{\text{P}} \approx mg\Delta h$.
- 큰 변화(위성 상승 등)에서는 각 반지름에서의 $-\dfrac{GMm}{r}$를 사용하고 빼야 합니다.
간단한 공식 $\Delta E_{\text{P}} = mg\Delta h$이 유효할 때는:
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균일한 장을 가정한다. 큰 $r$ 변화가 있을 때는 각 반지름에서 $-\dfrac{GMm}{r}$을 사용하라.
왜 중력ポテン셜은 항상 음수인가? 모두 선택하시오.
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"중력이 끌어당기기"만으로는 정답표에 표시된 답이 아니다. 정답표에는 무한대에서 0이고, 끌어오는 과정에서 장이 일을 한다는 일(work) 논리가 포함되어야 한다.
worked example: 화성 표면의 포텐셜
화성의 질량은 $6.4 \times 10^{23}\ \text{kg}$이고 반지름은 $3.4 \times 10^{6}\ \text{m}$입니다. 표면에서의 중력포텐셜과 질량 $1\ \text{kg}$를 표면에서 무한대로 제거하는 데 필요한 에너지를 구하십시오.
- 포텐셜: $\phi = -\dfrac{GM}{R} = -\dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 6.4 \times 10^{23}}{3.4 \times 10^{6}} = -1.3 \times 10^{7}\ \dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$.
- 단위가 묻힘: 포텐셜은 단위 질량당 에너지이므로 킬로그램당 줄(joules per kilogram)입니다.
- 킬로그램당 탈출 에너지: 무한대의 0까지 $\phi$에서 올라가는 것은 킬로그램당 $+1.3 \times 10^{7}\ \text{J}$입니다.
- 확인: 마이너스 부호는 선택 사항이 아닙니다. 이는 질량을 제거하기 위해 질량에 대해 일을 해야 함을 의미합니다—질량은 깊이 $1.3 \times 10^{7}\ \dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$의 "우물" 안에 있습니다.
달의 질량은 $7.35 \times 10^{22}\ \text{kg}$이고 반지름은 $1.74 \times 10^{6}\ \text{m}$이다. 달 표면에서의 중력ポ텐셜은 $10^{6}\ \dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$의 몇 배인가? (부호 포함)
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$\phi = -\dfrac{GM}{R} = -\dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 7.35 \times 10^{22}}{1.74 \times 10^{6}} = -2.8 \times 10^{6}\ \dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$ — 지구의 약 이십분의 일로, 달을脱离하기 쉬운 이유이다.
탈출 속도
- 무한대에 도달하려면 운동 에너지가 우물의 깊이를 맞추어야 합니다: $\tfrac{1}{2}mv_{\text{esc}}^{2} = \dfrac{GMm}{r}$.
- 지구 표면에서의 $v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}} \approx 11\ \dfrac{\text{km}}{\text{s}}$—물체의 질量和는 무관합니다.
지구 표면에서의 탈출 속도는 대략 몇 km/s인가?
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지구에 대해 $v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}} \approx 11\ \dfrac{\text{km}}{\text{s}}$이다.
탈출 속도는 탈출하는 물체의 질량에 의존한다.
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물체 질량이 상쇄되므로: $v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}}$은 행성과 거리에만 의존한다.
어떤 행성의 표면에서 GM/r = 6.3e7 J/kg이다. 이 행성의 탈출 속도는 몇 km/s인가?
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v = sqrt(2GM/r) = sqrt(1.26e8) = 1.12e4 m/s = 11.2 km/s, 지구의 값이다. 2라는 계수와 탈출하는 물체의 질량이 완전히 상쇄됨을 유의하라.
worked example: 위성 들어 올리기
한 $500\ \text{kg}$ 위성이 지구 표면($R = 6.37 \times 10^{6}\ \text{m}$)에서 반지름 $7.0 \times 10^{6}\ \text{m}$의 궤도로 들어 올려집니다. 지구의 질량은 $5.97 \times 10^{24}\ \text{kg}$입니다. 포텐셜 에너지의 증가분을 구하고 $mg\Delta h$와 비교하십시오.
- 두 가지 전위, 뺍셈: $\Delta E_{\text{P}} = GMm\left(\dfrac{1}{R} - \dfrac{1}{r}\right)$.
- 대입: $6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} \times 500 \times \left(\dfrac{1}{6.37 \times 10^{6}} - \dfrac{1}{7.0 \times 10^{6}}\right) = 2.8 \times 10^{9}\ \text{J}$.
- 대략적인 방법: $mg\Delta h = 500 \times 9.81 \times 6.3 \times 10^{5} = 3.1 \times 10^{9}\ \text{J}$—약 $10\%$만큼 크지만, $g$는 높이에 따라 감소하는데 $mg\Delta h$는 그렇지 않다고 가정합니다.
- 확인: 증가분은 양수입니다—위성은 최종적으로 덜 음수이며, 덜 단단히 묶여 있습니다—even though both potentials are negative numbers.
포텐셜은 음수이며 멀어질수록 0에 가까워집니다. "얻은 에너지"는 부호를 유지한 채 최종값에서 초기값을 뺀 것: $-1.3 \times 10^{7} \to -0.9 \times 10^{7}$는 킬로그램당 $0.4 \times 10^{7}$의 증가분입니다. $mg\Delta h$는 오직 $\Delta h \ll R$용입니다. 그리고 $\phi$의 단위는 $\dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$—줄(joules)만 쓰면点数를 잃습니다.
중력ポ텐셜에 대한 다음 중 올바른 진술은 무엇인가? 모두 선택하시오.
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
포텐셜은 단위 질량당 에너지이므로 단위는 줄/킬로그램이다. 포텐셜은 음수이며, 거리가 증가함에 따라 0에 가까워지고, 그 경사(gradient)는 장(field)을 준다: $g = -\dfrac{\Delta\phi}{\Delta r}$.
포텐셜 그래프에서의 장 강도
- 장 강도는 포텐셜-거리 그래프의 기울기입니다: $g = -\dfrac{\Delta\phi}{\Delta r}$.
- $\phi$ 그래프가 급한 곳(질량 근처)에서는 장이 강하고, 멀리서 그래프가 평평해지며 장이 약해집니다.
- 마이너스 부호는 장이 하향으로, 즉 $\phi$가 가장 음수인 질량 쪽으로 향함을 의미합니다.
이해했습니다
- 중력 포텐셜 $\phi = -\dfrac{GM}{r}$이 $\dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$에 존재함 (음수이며, 무한원에서 0); $g = -\dfrac{\Delta\phi}{\Delta r}$
- 중력 위치 에너지 $E_{\text{P}} = -\dfrac{GMm}{r}$ — 더 음수일수록 더 강하게 묶여 있음; 큰 변화에는 $GMm\left(\dfrac{1}{r_1} - \dfrac{1}{r_2}\right)$ 사용
- 탈출 속도 $v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}}$ (질량과 무관하며, 지구에서는 $\approx 11\ \dfrac{\text{km}}{\text{s}}$)