국제바칼로레이트 · IB Diploma · Mathematics: Analysis and Approaches · SL

지원 SL 초점. 첫 평가 2021; 현재有效期至 2028. 첫 평가-2029 과정은 별도임.. 남은 가이드, 평가 및 실습 요구 사항은 기록된 유지 사항이 그대로 보유됨.

사전 요구사항: 명시된 양과 단위를 읽고, 산술 및 아래 모델 조건을 사용하십시오. 각 수업은 독립적 이전 전에 자체 방법을 개발합니다.

이는 실제 측정값이나 완성된 평가된 학습자 조사가 아닌, 원작 또는 명시적으로 허구적인 교육 예시입니다.

남김 없이 포장할 수 있을까?

• 공급업체는 각 선물봉투에 72개의 연필과 90개의 펜을 넣습니다. 남김 없이 포장하려면 어떻게 해야 합니까?
• 이 수업에서는 **소인수(prime factor)**를 다룹니다. 정수를 정확히 나누는 소수입니다.

수학 구조 선택하기

• 소인수는 공통 구조를 밝혀줍니다. 최대공약수(HCF)에는 가장 작은 공통 소수의 제곱을 사용하고, 최소공배수(LCM)에는 가장 큰 것을 사용합니다. 계산 전에 추정하고, 연산 순서를 유지하기 위해 괄호를 사용하십시오.
• 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.

검증된 사례를 풀이하기

• 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.

예시:

72=2^3×3^2이고 90=2×3^2×5입니다. 그들의 HCF는 2×9=18입니다. 18개의 봉투를 만들어 각봉투에 4개의 연필과 5개의 펜을 넣으십시오. 그들의 LCM은 2^3×3^2×5=360입니다.

유혹적인 단축법을 테스트하기

• 최대공약수는 두 수를 모두 나눕니다. 최소공배수는 두 수의 배수입니다. 서로 다른 질문에 대한 답을 줍니다. 소수 추정값은 정확한 분수가 아닙니다.
• 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.

경고:

두 양의 정수의 최대공약수는 항상 각 정수보다 큽니다. 이 주장은 틀렸습니다. 이 주장이 어떤 정의나 가정과 모순되는지 설명하십시오.

새로운 상황을 해석하기

• 계산기 사용 금지 시험에서는 분수를 정확히 유지하고 약분을 표시하십시오. 계산기 사용 시험에서는 전체 식을 입력하여 추정값과 비교하십시오.
• 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.

이 내용을 과정에 활용하기

• 현재 첫 평가-2021 분석 및 접근법 SL. 이는 작성자 개념 지원 자료이며, 모든 학습목표를 검증하기 위해서는 완전한 가이드가 필요합니다.
• 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.

핵심:

정수를 정확히 나누는 소수입니다. 관계를 선택하고, 방법을 제시하며, 가정을 점검하고, 결과를 해석하십시오.

미세 길이는 얼마나 작을까?

• 현미경으로 측정한 길이가 0.000072 미터입니다. 압축 표현은 크기를 정확하게 유지해야 합니다.
• 이 수업에서는 지수(index) 를 다룹니다: 밑(base)이 몇 번 제곱되는지를 나타내는 지수입니다.

수학 구조 선택하기

• 동일한 양의 밑에 대해, 곱셈은 지수를 더하고 나셈은 지수를 뺍니다. 음의 지수는 역수를 의미하며, 분수 지수는 근(root)을 나타냅니다. 표준형은 1≤a<10입니다.
• 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.

검증된 사례를 풀이하기

• 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.

예시:

0.000072=7.2×10^(-5). 또한 16^(3/4)=(16^(1/4))^3=2^3=8. √72=6√2로 단순화한 후, $1/\sqrt{2}$=√2/2를 분모 무理化하시오.

유혹적인 단축법을 테스트하기

• 지수 법칙은 합을 하나의 지수로 변환하지 않습니다: 2^3+2^4=24이며, 2^7가 아닙니다. 정확한 답이 요구될 때는 무리수를 반올림하지 마십시오.
• 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.

경고:

모든 양수 a에 대해, a^2+a^3는 a^5와 같다. 이 주장은 틀렸다. 이 주장이 위배하는 정의나 가정 중 어느 것을 설명하시오.

새로운 상황을 해석하기

• 10의 거듭제곱을 원래 값과 대조하라. 정확한 기하학적 계산에는 무리수를 사용하고, 문제가 소수점 값을 요청할 때만 최종 길이를 반올림하라.
• 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.

이 내용을 과정에 활용하기

• 현재 첫 평가-2021 분석 및 접근법 SL. 이는 작성자 개념 지원 자료이며, 모든 학습목표를 검증하기 위해서는 완전한 가이드가 필요합니다.
• 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.

핵심:

밑수가 치환되는 지수이다. 관계를 선택하고, 방법을 제시하며, 가정을 확인하고, 결과를 해석하라.

변화는 더하는지 곱하는가?

• 절약 계획은 매주 ¥30씩 추가储蓄; 인구 모델은 매년 5%씩 증가합니다. 동일한 차수와 동일한 비는 서로 다른 모델을 필요로 합니다.
• 이 수업에서는 공비를 다룹니다: 등비수열에서 인접한 항 사이의 상수 곱인 비율입니다.

수학 구조 선택하기

• 등차수열에서 u_n=a+(n-1)d이며 S_n=n(2a+(n-1)d)/2입니다. 등비수열에서 u_n=ar^(n-1)이며 S_n=a(1-r^n)/(1-r)입니다. 무한등비급수는 |r|<1일 때만 존재합니다.
• 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.

검증된 사례를 풀이하기

• 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.

예시:

a=5, d=3, n=8인 경우 u_8=5+7×3=26이며 S_8=8(10+21)/2=124이다. a=12, r=1/2인 무한등비수열의 합은 S infinity=12/(1-1/2)=24이다. u_(n+1)=2u_n+1且 u_1=1인 재귀 관계에서 다음 항은 3,7,15이다.

유혹적인 단축법을 테스트하기

• 첫 번째 항의 인덱스는 1이므로 지수는 n-1입니다. 수열은 나열이고, 급수는 합입니다. 등비수열은 부호가 번갈아 가더라도 수렴할 수 있습니다.
• 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.

경고:

모든 등비급수는 무한합을 가집니다. 이 주장은 틀렸습니다. 어떤 정의나 가정 위배를 설명하십시오.

새로운 상황을 해석하기

• 맥락이 가산적 변화와 곱산적 변화 중 어느 것을 정당화하는지 설명하십시오. 금융에서 합계 공식을 선택하기 전에 단일 예치금과 일련의 예치금을 구분하십시오.
• 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.

이 내용을 과정에 활용하기

• 현재 첫 평가-2021 분석 및 접근법 SL. 이는 작성자 개념 지원 자료이며, 모든 학습목표를 검증하기 위해서는 완전한 가이드가 필요합니다.
• 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.

핵심:

기하급수의 인접항 사이의 상수 비(공비). 관계식을 선택하고, 풀이 과정을 제시하며, 그 가정을 검증한 뒤 결과를 해석하십시오.

원래 가격을 복원할 수 있는가?

• 코트가原价의 20% 할인되어 ¥240가 되었습니다. 할인은 판매가가 아닌 원래 가격에 적용됩니다.
• 이 수업에서는 배율(multiplier) 을 다룹니다: 하나의 곱셈 연산에서 백분율 변화를 수행하는 인자입니다.

수학 구조 선택하기

• p% 증가는 배율이 1+p/100이며, 감가는 배율이 1-p/100입니다. 백분율을 반대로 계산하려면 배율로 나누십시오. 비(ratio) 문제에서는 먼저 전체 부분의 수를 구하십시오.
• 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.

검증된 사례를 풀이하기

• 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.

예시:

원본 가격을 P라고 합시다. 모델은 할인 가격=0.8P입니다. 따라서 P=240/0.8=300입니다. 이후 20% 상승으로 인해 240×1.2=288이 되므로 두 변화는 서로 상쇄되지 않습니다.

유혹적인 단축법을 테스트하기

• 백분율은 명시된 기준값을 사용합니다. 백분율을 빼면 그 기준값이 사라집니다. 복합 변화의 경우, 배율(multiplier)을 곱해야 하며, 백분율을 더해서는 안 됩니다.
• 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.

경고:

20% 감소 후 20% 증가가 시작 가격을 복원합니다. 이 주장은 틀렸습니다. 어떤 정의 또는 가정을 위반하는지 설명하십시오.

새로운 상황을 해석하기

• 직접 비례에는 y=kx를, 반비례에는 y=k/x를 사용합니다. 새로운 값을 사용하기 전에 알려진 쌍(k)을 계산하십시오. 무엇을 일정하게 유지했는지 명시하십시오.
• 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.

이 내용을 과정에 활용하기

• 현재 첫 평가-2021 분석 및 접근법 SL. 이는 작성자 개념 지원 자료이며, 모든 학습목표를 검증하기 위해서는 완전한 가이드가 필요합니다.
• 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.

핵심:

한 번의 곱셈运算에서 백분율 변화를 수행하는 인자입니다. 관계를 선택하고, 방법을 제시하며, 가정을 확인하고 결과를 해석하십시오.

지원 SL 초점. 첫 평가 2021; 현재有效期至 2028. 첫 평가-2029 과정은 별도임.. 남은 가이드, 평가 및 실습 요구 사항은 기록된 유지 사항이 그대로 보유됨.

사전 요구사항: 명시된 양과 단위를 읽고, 산술 및 아래 모델 조건을 사용하십시오. 각 수업은 독립적 이전 전에 자체 방법을 개발합니다.

이는 실제 측정값이나 완성된 평가된 학습자 조사가 아닌, 원작 또는 명시적으로 허구적인 교육 예시입니다.

허용되는 입력은 무엇인가?

• 제곱근 모델은 특정 입력값에서만 실수 출력을 산출한다. 공식 자체만으로는 완전한 함수를 정의하지 못한다.
• 이 수업에서는 정의역(domain) 을 다룬다: 함수에 허용되는 입력값들의 집합이다.

수학 구조 선택하기

• 정의역과 치역을 구하시오. 역함수를 구하기 전, 먼저 함수가 정의역에서 일대일 correspondance를 만족하는지 확인하십시오. 합성 fg는 g를 먼저 적용한 후 f를 적용하는 것을 의미하며, 중간 출력값은 f에 대한 유효한 입력값이어야 합니다.
• 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.

검증된 사례를 풀이하기

• 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.

예시:

f(x)=√(x-2)인 경우 x≥2이며 치역은 y≥0입니다. y=√(x-2)에서 x=y²+2로 정리할 수 있습니다. 따라서 역함수 f inverse(x)=x²+2이며, 이는 x≥0의 범위에서 성립합니다. g(x)=x+3인 경우, fg(1)=f(4)=√2입니다.

유혹적인 단축법을 테스트하기

• 제곱 연산은 부수적 해(extraneous solutions)를 생성할 수 있습니다. 역함수가 존재함을 주장하기 전에 포물선의 정의역을 제한하는 것이 필수적입니다. f 내부의 수평 이동 방향은 그래프의 실제 이동 방향과 반대부호를 가집니다.
• 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.

경고:

모든 실수 전체에서의 이차함수는 역함수를 가집니다. 이 주장은 틀렸습니다. 어떤 정의나 가정과 위배되는지 설명하십시오.

새로운 상황을 해석하기

• 역함수 정의역에서 f(f inverse(x))=x인지 확인하십시오. 스킷을 사용하여 수평선이 원본 그래프를 한 번 이상 교차하는지 테스트하십시오.
• 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.

이 내용을 과정에 활용하기

• 현재 첫 평가-2021 분석 및 접근법 SL. 이는 작성자 개념 지원 자료이며, 모든 학습목표를 검증하기 위해서는 완전한 가이드가 필요합니다.
• 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.

핵심:

함수에 허용된 입력의 집합입니다. 관계를 선택하고, 방법을 제시하며, 가정 조건을 확인하고 결과를 해석하십시오.

감쇠 모델이 왜 양의 값을 유지하는가?

• 약물의 농도는 매 시간 동일한 비율로 감소한다. 일정한 값을 빼면 결국 음수 값을 예측하게 될 것이다.
• 본 수업에서는 반감기를 다룬다: 감소하는 양이 초기 값의 절반이 되는 데 걸리는 시간이다.

수학 구조 선택하기

• y=Ae^(kt)에서 k는 비례 상수이다. 양변에 로그를 취하면 ln y=ln A+kt가 된다. 로그함수는 양수 arguments만 허용하며, log(x+y)는 log x+log y와 같지 않다.
• 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.

검증된 사례를 풀이하기

• 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.

예시:

y=80e^(-0.2t)이고 y=40이면 e^(-0.2t)=1/2이 된다. 따라서 t=ln2/0.2≈3.466이다. 3^x=20인 경우, x=ln20/ln3이다. ln y를 t에 대해 그래프를 그리면 지수 모델을 직선화할 수 있다.

유혹적인 단축법을 테스트하기

• 피팅된 지수함수는 모델이지 보장条件是 아니다. 사용 시간 단위와 적용 범위를 명시하시오. k가 음수이면 감쇠를 의미하며, 시작 값이 음수인 경우는 보통 문맥과 모순된다.
• 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.

경고:

양수 x, y에 대하여 ln(x+y)=ln x+ln y이다. 이 주장이 틀렸음을 보이며, 어떤 정의나 가정과 모순되는지 설명하시오.

새로운 상황을 해석하기

• 실제 관측치와 모델을 비교하시오. 체계적인 편차는 환경 변화 가능성을 시사할 수 있다. 보고서에서는 단순한 식을 제시하기보다 비례 상수와 초기 값이 어떤 의미를 가지는지 설명하시오.
• 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.

이 내용을 과정에 활용하기

• 현재 첫 평가-2021 분석 및 접근법 SL. 이는 작성자 개념 지원 자료이며, 모든 학습목표를 검증하기 위해서는 완전한 가이드가 필요합니다.
• 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.

핵심:

감소하는 양이 초기 값의 절반이 되는 데 걸리는 시간이다. 관계식을 선택하고, 계산 방법을 제시하며, 가정을 검증하고 결과를 해석하시오.

지원 SL 초점. 첫 평가 2021; 현재有效期至 2028. 첫 평가-2029 과정은 별도임.. 남은 가이드, 평가 및 실습 요구 사항은 기록된 유지 사항이 그대로 보유됨.

사전 요구사항: 명시된 양과 단위를 읽고, 산술 및 아래 모델 조건을 사용하십시오. 각 수업은 독립적 이전 전에 자체 방법을 개발합니다.

이는 실제 측정값이나 완성된 평가된 학습자 조사가 아닌, 원작 또는 명시적으로 허구적인 교육 예시입니다.

부피가 길이에 비례하여scaling 되는가?

• A model has lengths one third of the real object. How much smaller are its area and volume?
• 이 수업에서는 배율(scale factor) 을 연구합니다: 유사한 도형의 대응 길이를 연결하는 배율입니다.

수학 구조 선택하기

• 길이 배율이 k인 유사한 도형의 경우, 면적은 k²배, 부피는 k³배로 변합니다. 각에 대한 이유를 명시적으로 기술하십시오. 원의 접선은 접촉점에서 반지름에 수직입니다.
• 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.

검증된 사례를 풀이하기

• 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.

예시:

모델에서 실제 길이로 변환하는 비율이 3일 때, 모델 면적 12 cm²는 12×3²=108 cm²로, 모델 부피 8 cm³은 8×3³=216 cm³로 변환됩니다. 반지름 r=3, 높이 h=5인 원기둥의 부피는 πr²h=45π입니다.

유혹적인 단축법을 테스트하기

• 각도만 같다고 해서 비례(유사)를 증명할 수 있으며, 크기만 같다고 해서 비례를 증명할 수는 없습니다. 동일한 순서로 대응하는 길이를 사용하십시오. 면적이나 부피를 계산하기 전에 선형 단위를 변환하거나, 변환 인자의 제곱 또는 세제곱을 정확하게 수행하십시오.
• 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.

경고:

입체의 모든 길이를 두 배로 늘리면 부피도 두 배가 된다는 주장은 틀렸습니다. 이 주장이 어떤 정의나 가정과 위배되는지 설명하십시오.

새로운 상황을 해석하기

• 기하학적 증명은 관련 정리명을 명시하고, 같은 각이나 비를 확인한 뒤 결론을 도출해야 합니다. 스케치 도면은 문제 지시사항에 측정이 허용될 때만 증거 자료로 인정됩니다.
• 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.

이 내용을 과정에 활용하기

• 현재 첫 평가-2021 분석 및 접근법 SL. 이는 작성자 개념 지원 자료이며, 모든 학습목표를 검증하기 위해서는 완전한 가이드가 필요합니다.
• 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.

핵심:

유사한 도형의 대응 길이를 연결하는 배율입니다. 관계를 선택하고, 방법을 제시하며, 가정을 확인하고 결과를 해석하십시오.

사다리가 필요한 변은?

• 사다리 높이가 4m일 때, 발 끝이 벽에서 3m 떨어져 있습니다. 어떤 변들은已知이며, 어떤 각도를 구해야 합니까?
• 이 수업에서는 대변을 다룹니다. 직각삼각형에서 직각의 대변입니다.

수학 구조 선택하기

• 직각삼각형에서 a²+b²=c²; sinθ=대변/대변, cosθ=인접변/대변, tanθ=대변/인접변입니다. 다른 삼각형에는 사인의 법칙이나 코사인의 법칙, 또는 면적 공식 면적=ab sin C/2을 사용하십시오.
• 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.

검증된 사례를 풀이하기

• 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.

예시:

사다리 길이는 c=√(3²+4²)=5 m입니다. 지면에 대한 각도 θ는 tanθ=4/3를 만족하므로 θ≈53.1°입니다. 두 변 6과 8이 60°를 이루고 있을 때, c²=6²+8²-2×6×8 cos60°=52입니다.

유혹적인 단축법을 테스트하기

• 선택한 각도에 따라 변을 표기하십시오. 피타고라스 정리는 직각이 필요합니다. 계산기의 각도 모드 오류로 타당해 보이는 잘못된 결과가 나올 수 있으므로 주의하십시오. 이후 단계에 사용하기 위해 반올림하지 않은 값을 유지하십시오.
• 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.

경고:

피타고라스 정리는 직각이 없는 삼각형을 포함한 모든 삼각형에 적용된다는 주장은 틀렸습니다. 이 주장이 어떤 정의나 가정 위반에 해당인지 설명하십시오.

새로운 상황을 해석하기

• 삼각함수 법칙을 적용하기 전에 입체 문제의 평면도나 정면을 그려보십시오. 왜 선택한 삼각형에 필요한 길이나 각도가 포함되어 있는지 설명하십시오.
• 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.

이 내용을 과정에 활용하기

• 현재 첫 평가-2021 분석 및 접근법 SL. 이는 작성자 개념 지원 자료이며, 모든 학습목표를 검증하기 위해서는 완전한 가이드가 필요합니다.
• 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.

핵심:

직각삼각형에서 직각의 대변입니다. 관계식을 선택하고, 풀이 과정을 제시하며, 그 가정을 검증한 뒤 결과를 해석하십시오.

가장자리가 이동한 거리는?

• 회전하는 바퀴가 호(h)를 그립니다. 라디안 단위를 사용하면 각도를 직접적으로 바퀴 테두리를 따라 이동한 거리와 연결할 수 있습니다.
• 이 수업에서는 라디안을 다룹니다. 호의 길이가 반지름과 같은 각도입니다.

수학 구조 선택하기

• θ가 라디안일 때, 호의 길이 s=rθ이고 부채꼴의 면적 A=r²θ/2입니다. sin²θ+cos²θ=1 및 각도의 항등식을 사용하여 식을 정리하거나 방정식을 풀십시오. 주어진 구간 내의 해를 모두 나열하십시오.
• 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.

검증된 사례를 풀이하기

• 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.

예시:

r=4, θ=π/3일 때, s=4π/3, A=8π/3이다. sin x=1/2를 0≤x<2π 범위에서 풀면 x=π/6과 5π/6이 된다. sin2x=1/2의 경우, 먼저 0≤2x<4π 범위에서 푼 뒤 2으로 나눈다.

유혹적인 단축법을 테스트하기

• 전산기 역사인수함수는 주 해(주값) 하나만 제공한다. 모든 해를 구하지는 못한다. sin x로 나누면 sin x=0인 해가 소거될 수 있으므로, 이 경우를 먼저 확인해야 한다.
• 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.

경고:

주 역사인수함수 값은 한 회전 전체에서 유일한 해라는 주장이 있다. 이는 틀린 말이다. 이 주장이 어떤 정의나 가정과 모순되는지 설명하시오.

새로운 상황을 해석하기

• 방정식을 하나의 삼각함수만으로 줄이는 항등식을 선택하되, 가능한 한 정확한 각도를 유지하고 각 해를 원래 방정식에 대입하여 검증하시오.
• 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.

이 내용을 과정에 활용하기

• 현재 첫 평가-2021 분석 및 접근법 SL. 이는 작성자 개념 지원 자료이며, 모든 학습목표를 검증하기 위해서는 완전한 가이드가 필요합니다.
• 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.

핵심:

호의 길이가 반지름과 같을 때 그 호가 만나는 각도이다. 관계식을 선택하고, 계산 과정을 제시하며, 가정을 검증하고 결과를 해석하시오.

지원 SL 초점. 첫 평가 2021; 현재有效期至 2028. 첫 평가-2029 과정은 별도임.. 남은 가이드, 평가 및 실습 요구 사항은 기록된 유지 사항이 그대로 보유됨.

사전 요구사항: 명시된 양과 단위를 읽고, 산술 및 아래 모델 조건을 사용하십시오. 각 수업은 독립적 이전 전에 자체 방법을 개발합니다.

이는 실제 측정값이나 완성된 평가된 학습자 조사가 아닌, 원작 또는 명시적으로 허구적인 교육 예시입니다.

하나의 평균으로 전체를 알 수 있을까?

• 두 집단의 중앙값은 같으나 산포가 다릅니다. 하나의 요약 통계량으로 위치와 일관성을 모두 설명할 수 없습니다.
• 이 수업에서는 **빈도 밀도(frequency density)**를 다룹니다: 빈도를 계급폭으로 나눈 값으로 히스토그램의 높이에 사용됩니다.

수학 구조 선택하기

• 문맥에 맞는 적절한 평균과 산포를 비교하십시오. 히스토그램은 면적이 빈도를 나타내므로, 높이=빈도/계급폭입니다. 그룹화된 추정치는 구간 내 대표값을 가정합니다.
• 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.

검증된 사례를 풀이하기

• 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.

예시:

10부터 20까지인 계급으로 빈도가 30인 경우 밀도는 30/10=3입니다. 20부터 40까지인 계급으로 빈도가 20인 경우 밀도는 20/20=1입니다. 더 넓은 막대가 더 높은 밀도를 의미하는 것은 아닙니다. 값이 2,4,4,6,9일 때, 중앙값은 4이고 평균은 5입니다.

유혹적인 단축법을 테스트하기

• 가장 높은 히스토그램 막대가 가장 많은 관측치를 포함할 필요는 없습니다. 그룹화된 평균은 추정치일 뿐입니다. 상관관계는 인과성을 증명하지 않으며, 외삽(extrapolation)은 관찰 범위를 넘어inta합니다.
• 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.

경고:

히스토그램 막대의 높이는 항상 빈도와 같다는 주장은 부등한 계급폭에도 적용된다고 합니다. 이는 틀린 말입니다. 어떤 정의나 가정을 위배하는지 설명하십시오.

새로운 상황을 해석하기

• 데이터 유형에 적합한 표시법을 선택하십시오. 수치적 비교와 그것이 인구(모집단)에 대한 의미를 제시하되, 표본이 지지하는 정밀도보다 더 많은 것을 추론하지 마십시오.
• 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.

이 내용을 과정에 활용하기

• 현재 첫 평가-2021 분석 및 접근법 SL. 이는 작성자 개념 지원 자료이며, 모든 학습목표를 검증하기 위해서는 완전한 가이드가 필요합니다.
• 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.

핵심:

빈도를 계급폭으로 나눈 값으로 히스토그램의 높이에 사용됩니다. 관계를 선택하고, 방법을 제시하며, 가정을 검토한 후 결과를 해석하십시오.

첫 번째 추출 후 무엇이 달라지는가?

• 주머니에 3개의 빨간색과 2개의 파란색 마ーカー가 들어 있습니다. 같은 색을 두 번 뽑을 때, 두 번째 뽑기의 확률이 변합니다(비교환법).
• 이 수업에서는 조건부 확률을 다룹니다: 표본공간을 특정 조건으로 제한했을 때 사건이 발생할 확률입니다.

수학 구조 선택하기

• 나뭇가지를 따라 곱하고 분리된 나뭇가지를 더합니다. 치환 시 구성은 일정하게 유지됩니다. 조건부 확률은 P(B) > 0일 때 P(A given B)=P(A∩B)/P(B)입니다.
• 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.

검증된 사례를 풀이하기

• 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.

예시:

비교환법일 때, 두 개 모두 빨간색일 확률=3/5×2/4=3/10. 각 하나씩 나올 확률=3/5×2/4+2/5×3/4=3/5. 만약 P(A∩B)=0.12이고 P(B)=0.3라면, 조건부 확률 P(A given B)=0.4입니다.

유혹적인 단축법을 테스트하기

• 서로소 mutually exclusive는 겹침이 없다는 뜻이며, 독립 independent는 한 사건의 발생 여부가 다른 사건의 확률을 바꾸지 않는다는 뜻입니다. 양의 확률을 가진 서로소 사건들은 독립적이지 않습니다.
• 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.

경고:

양의 확률을 가진 서로소 사건들은 반드시 독립적이다. 이 주장은 틀렸습니다. 어떤 정의나 가정을 위반하는지 설명하십시오.

새로운 상황을 해석하기

• 양방향 표는 제한된 분모를 명확하게 보여줍니다. 곱 P(A)P(B)를 사용하기 전에 문맥이나 제공된 정보로부터 독립성을 정당화하십시오.
• 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.

이 내용을 과정에 활용하기

• 현재 첫 평가-2021 분석 및 접근법 SL. 이는 작성자 개념 지원 자료이며, 모든 학습목표를 검증하기 위해서는 완전한 가이드가 필요합니다.
• 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.

핵심:

표본공간을 특정 조건으로 제한했을 때 사건의 확률입니다. 관계식을 선택하고, 계산 방법을 제시하며, 해당 가정을 검증한 뒤 결과를 해석하십시오.

어떤 요인이 횟수를 예측 가능하게 하는가?

• 품질 검사원이 불량품을 세는 수치는 무작위이지만, 모델은 그 예상 범위를 설명할 수 있습니다.
• 이 수업에서는 기대값 expected value를 다룹니다: 무작위 변수의 확률 가중 평균입니다.

수학 구조 선택하기

• 이항 모델은 고정된 n, 독립적 실험, 두 가지 결과, 일정한 p를 필요로 합니다. E(X)=np이고 Var(X)=np(1-p)입니다. 정규 모델에는 z=(x-μ)/σ을 사용합니다. 푸아송 모델은 일정한 속도와 적절한 독립성 가정을 가진 계수들을 묘사합니다.
• 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.

검증된 사례를 풀이하기

• 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.

예시:

X가 이항분포 binomial(5,0.2)일 때, P(X=0)=0.8^5=0.32768이며, E(X)=1, Var(X)=0.8입니다. μ=100, σ=15인 정규량에서 값 130의 z는 ⟨2⟩입니다. 시간당 푸아송 평균이 3이면 2시간 동안의 평균은 ⟨6⟩입니다.

유혹적인 단축법을 테스트하기

• 모든 세기(count)가 이항 분포를 따르는 것은 아닙니다. p의 변화나 종속성은 이를 무효화할 수 있습니다. 연속 변수의 경우 특정 한 값에 대한 확률은 0입니다. 이산 분포를 정규 분포로 근사할 때는 연성 보정(continuity correction)이 중요합니다.
• 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.

경고:

모든 성공의 세기는 종속성에 상관없이 이항 분포를 따른다는 주장은 틀렸습니다. 어떤 정의나 가정을 위반했는지 설명하십시오.

새로운 상황을 해석하기

• 계산기 분포 함수를 사용하기 전에 사건을 부등식으로 작성하십시오. P(X<k), P(X≤k), 그리고 꼬리의 보완을 구분하십시오. 맥락에서 가정을 명시하십시오.
• 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.

이 내용을 과정에 활용하기

• 현재 첫 평가-2021 분석 및 접근법 SL. 이는 작성자 개념 지원 자료이며, 모든 학습목표를 검증하기 위해서는 완전한 가이드가 필요합니다.
• 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.

핵심:

확률 변수의 확률 가중 평균입니다. 관계식을 선택하고, 방법을 제시하며, 그 가정을 확인하고 결과를 해석하십시오.

지원 SL 초점. 첫 평가 2021; 현재有效期至 2028. 첫 평가-2029 과정은 별도임.. 남은 가이드, 평가 및 실습 요구 사항은 기록된 유지 사항이 그대로 보유됨.

사전 요구사항: 명시된 양과 단위를 읽고, 산술 및 아래 모델 조건을 사용하십시오. 각 수업은 독립적 이전 전에 자체 방법을 개발합니다.

이는 실제 측정값이나 완성된 평가된 학습자 조사가 아닌, 원작 또는 명시적으로 허구적인 교육 예시입니다.

한 점에서의 기울기는 무엇인가?

• 곡선 도로의 각 위치마다 기울기는 다르다. 평균 경사도로 모든 점을 설명할 수 없다.
• 이 수업에서는 미분을 다룹니다. 순간 변화율, 즉 접선의 기울기입니다.

수학 구조 선택하기

• y=ax^n인 경우, dy/dx=anx^(n-1)입니다. 정지점(stationary point)은 dy/dx=0을 만족합니다. 미분값의 부호 변화나 비영일 때의 이계도함수를 확인하여 분류하십시오.
• 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.

검증된 사례를 풀이하기

• 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.

예시:

y=x³-3x인 경우, dy/dx=3x²-3입니다. x=1일 때 기울기는 0이고 y=-2입니다. 이차 도함수는 6x로, x=1에서 양수이므로 이는 국소 최소점입니다. x=-1일 때 y=2이며 이차 도함수는 음수이므로 국소 최대점을 줍니다.

유혹적인 단축법을 테스트하기

• 도함수가 0이라는 것이 항상 극대 또는 극소를 의미하지는 않습니다: y=x³은 0에서 정지하지만 계속 증가합니다. 또한, 제한된 정의역에서 끝점이 극값을 생성할 수도 있습니다.
• 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.

경고:

도함수가 0인 모든 점은 국소 극대 또는 극소입니다. 이 주장은 틀렸습니다. 이 주장이 위반하는 정의나 가정을 설명하십시오.

새로운 상황을 해석하기

• GCSE/IGCSE에서는 허용된 계수 범위 내에서만 다룹니다. 여기서 합성함수, 곱, 나눗의 미분법(chain, product, quotient rules)을 추가하지 마십시오. 고등 수준에서는 미분값을 변화율 및 최적화 문제와 유효한 정의역으로 연결하십시오.
• 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.

이 내용을 과정에 활용하기

• 현재 첫 평가-2021 분석 및 접근법 SL. 이는 작성자 개념 지원 자료이며, 모든 학습목표를 검증하기 위해서는 완전한 가이드가 필요합니다.
• 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.

핵심:

순간 변화율, 즉 접선의 기울기입니다. 관계식을 선택하고, 방법을 제시하며, 가정을 확인하고 결과를 해석하십시오.

얼마나 변화가 축적되었는가?

• 속도 그래프는 특정 순간의 운동을 보여줍니다. 시간이流过 동안 축적된 변위를 어떻게 회복할 수 있습니까?
• 이 수업에서는 **원함수(alternative antiderivative)**를 연구합니다: 미분값이 주어진 피적분함수와 동일한 함수입니다.

수학 구조 선택하기

• n≠-1인 경우, ax^n의 적분은 ax^(n+1)/(n+1)+C입니다. 정적분은 부호가 있는 축적입니다. 총 면적이나 거리가 필요할 때 부호 변경 지점에서 나누십시오.
• 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.

검증된 사례를 풀이하기

• 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.

예시:

v(t)=3t²-3에 대해 0≤t≤2 구간에서 변위=[t³-3t]_0^2=2입니다. v가 t=1에서 부호가 바뀌므로, 거리=-[t³-3t]_0^1+[t³-3t]_1^2=2+4=6입니다. 상수는 정적분일 때만 소거됩니다.

유혹적인 단축법을 테스트하기

• 1/x의 적분은 n=-1인 거듭제곱 법칙이 아닌 ln|x|+C입니다. 부호가 있는 면적이 0이 될 수 있지만 전체 내부 면적은 양수일 수 있습니다.
• 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.

경고:

정적분은 항상 그래프가 축을 가로지르더라도 총 양의 면적과 같습니다. 이 주장은 틀렸습니다. 어떤 정의나 가정을 위반하는지 설명하십시오.

새로운 상황을 해석하기

• 적분이何を 의미하는지 식별하고 올바른 단위를 포함하십시오. 초당 측정된 속도는 다른 속도가 아닌 기저 양으로 적분됩니다. 원함수를 미분하여 확인하십시오.
• 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.

이 내용을 과정에 활용하기

• 현재 첫 평가-2021 분석 및 접근법 SL. 이는 작성자 개념 지원 자료이며, 모든 학습목표를 검증하기 위해서는 완전한 가이드가 필요합니다.
• 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.

핵심:

미분값이 주어진 피적분함수와 동일한 함수입니다. 관계성을 선택하고, 방법을 제시하며, 가정을 검증하고 결과를 해석하십시오.

Supported SL focus. First assessment 2021; current through 2028. First-assessment-2029 course is separate.. Remaining guide, assessment and practical requirements retain their recorded holds.

Prerequisites: read the stated quantities and units, use arithmetic and the model conditions below. Each lesson develops its own method before independent transfer.

These are original or explicitly fictional teaching examples, not actual measurements or completed assessed learner investigations.

What makes an investigation mathematical?

• A student wants to predict queue waiting time at the school canteen. A useful exploration needs a question, data and mathematics the student can explain.
• This lesson studies assumption 假设: A condition adopted to make a mathematical model possible and whose effect should be evaluated.

Choose the mathematical structure

• Frame a focused question with measurable variables and a feasible method. Keep a dated record of decisions, sources and mathematical reasoning. Use technology to support analysis, and explain every important output in your own words.
• State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.

Work through a checked case

• Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.

Example:

A pilot records mean waiting times of 3,5,7 minutes when 10,20,30 people are ahead. A first model is t=1+0.2n. At n=25 it predicts 6 minutes. An actual wait of 8 gives residual 2; investigate varying service rates rather than hiding the mismatch.

Test a tempting shortcut

• Do not copy a sample exploration, invent data or manufacture personal engagement. A prediction is not evidence until it is compared with observations. Consent and privacy matter when collecting school data.
• When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.

Warn:

The school-supervised mathematical exploration can be replaced by a timed written mock exam. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.

Interpret a new situation

• The school supervises topic approval, checkpoints, authenticity and assessment. For the current 2021 course use the current school's guide and criteria; the 2029 inquiry criteria belong to a different assessment version.
• A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.

Use this in your course

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches SL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
• Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.

Key:

A condition adopted to make a mathematical model possible and whose effect should be evaluated. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.