1 · 수와 대수

지원 HL focus. 첫 평가 2021; 현재는 2028까지. 첫 평가-2029 과정은 별도임. Remaining guide, assessment 및 practical requirements는 기록된 holds를 유지함.

사전 요구사항: 명시된 양과 단위를 읽고, 산술 및 아래 모델 조건을 사용하십시오. 각 수업은 독립적 이전 전에 자체 방법을 개발합니다.

이는 실제 측정값이나 완성된 평가된 학습자 조사가 아닌, 원작 또는 명시적으로 허구적인 교육 예시입니다.

남김 없이 포장할 수 있을까?

• 공급업체는 각 선물봉투에 72개의 연필과 90개의 펜을 넣습니다. 남김 없이 포장하려면 어떻게 해야 합니까?
• 이 수업에서는 **소인수(prime factor)**를 다룹니다. 정수를 정확히 나누는 소수입니다.

수학 구조 선택하기

• 소인수는 공통 구조를 밝혀줍니다. 최대공약수(HCF)에는 가장 작은 공통 소수의 제곱을 사용하고, 최소공배수(LCM)에는 가장 큰 것을 사용합니다. 계산 전에 추정하고, 연산 순서를 유지하기 위해 괄호를 사용하십시오.
• 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.

검증된 사례를 풀이하기

• 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.

예시:

72=2^3×3^2이고 90=2×3^2×5입니다. 그들의 HCF는 2×9=18입니다. 18개의 봉투를 만들어 각봉투에 4개의 연필과 5개의 펜을 넣으십시오. 그들의 LCM은 2^3×3^2×5=360입니다.

유혹적인 단축법을 테스트하기

• 최대공약수는 두 수를 모두 나눕니다. 최소공배수는 두 수의 배수입니다. 서로 다른 질문에 대한 답을 줍니다. 소수 추정값은 정확한 분수가 아닙니다.
• 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.

경고:

두 양의 정수의 최대공약수는 항상 각 정수보다 큽니다. 이 주장은 틀렸습니다. 이 주장이 어떤 정의나 가정과 모순되는지 설명하십시오.

새로운 상황을 해석하기

• 계산기 사용 금지 시험에서는 분수를 정확히 유지하고 약분을 표시하십시오. 계산기 사용 시험에서는 전체 식을 입력하여 추정값과 비교하십시오.
• 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.

이 내용을 과정에 활용하기

• 현재 첫 평가-2021 분석 및 접근법 HL. 이는 작성자 개념 지원 자료이며, 모든 목표에 대한 인증을 위해서는 전체 가이드가 필요합니다.
• 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.

핵심:

정수를 정확히 나누는 소수입니다. 관계를 선택하고, 방법을 제시하며, 가정을 점검하고, 결과를 해석하십시오.

미세 길이는 얼마나 작을까?

• 현미경으로 측정한 길이가 0.000072 미터입니다. 압축 표현은 크기를 정확하게 유지해야 합니다.
• 이 수업에서는 지수(index) 를 다룹니다: 밑(base)이 몇 번 제곱되는지를 나타내는 지수입니다.

수학 구조 선택하기

• 동일한 양의 밑에 대해, 곱셈은 지수를 더하고 나셈은 지수를 뺍니다. 음의 지수는 역수를 의미하며, 분수 지수는 근(root)을 나타냅니다. 표준형은 1≤a<10입니다.
• 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.

검증된 사례를 풀이하기

• 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.

예시:

0.000072=7.2×10^(-5). 또한 16^(3/4)=(16^(1/4))^3=2^3=8. √72=6√2로 단순화한 후, $1/\sqrt{2}$=√2/2를 분모 무理化하시오.

유혹적인 단축법을 테스트하기

• 지수 법칙은 합을 하나의 지수로 변환하지 않습니다: 2^3+2^4=24이며, 2^7가 아닙니다. 정확한 답이 요구될 때는 무리수를 반올림하지 마십시오.
• 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.

경고:

모든 양수 a에 대해, a^2+a^3는 a^5와 같다. 이 주장은 틀렸다. 이 주장이 위배하는 정의나 가정 중 어느 것을 설명하시오.

새로운 상황을 해석하기

• 10의 거듭제곱을 원래 값과 대조하라. 정확한 기하학적 계산에는 무리수를 사용하고, 문제가 소수점 값을 요청할 때만 최종 길이를 반올림하라.
• 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.

이 내용을 과정에 활용하기

• 현재 첫 평가-2021 분석 및 접근법 HL. 이는 작성자 개념 지원 자료이며, 모든 목표에 대한 인증을 위해서는 전체 가이드가 필요합니다.
• 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.

핵심:

밑수가 치환되는 지수이다. 관계를 선택하고, 방법을 제시하며, 가정을 확인하고, 결과를 해석하라.

변화는 더하는지 곱하는가?

• 절약 계획은 매주 ¥30씩 추가储蓄; 인구 모델은 매년 5%씩 증가합니다. 동일한 차수와 동일한 비는 서로 다른 모델을 필요로 합니다.
• 이 수업에서는 공비를 다룹니다: 등비수열에서 인접한 항 사이의 상수 곱인 비율입니다.

수학 구조 선택하기

• 등차수열에서 u_n=a+(n-1)d이며 S_n=n(2a+(n-1)d)/2입니다. 등비수열에서 u_n=ar^(n-1)이며 S_n=a(1-r^n)/(1-r)입니다. 무한등비급수는 |r|<1일 때만 존재합니다.
• 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.

검증된 사례를 풀이하기

• 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.

예시:

a=5, d=3, n=8인 경우 u_8=5+7×3=26이며 S_8=8(10+21)/2=124이다. a=12, r=1/2인 무한등비수열의 합은 S infinity=12/(1-1/2)=24이다. u_(n+1)=2u_n+1且 u_1=1인 재귀 관계에서 다음 항은 3,7,15이다.

유혹적인 단축법을 테스트하기

• 첫 번째 항의 인덱스는 1이므로 지수는 n-1입니다. 수열은 나열이고, 급수는 합입니다. 등비수열은 부호가 번갈아 가더라도 수렴할 수 있습니다.
• 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.

경고:

모든 등비급수는 무한합을 가집니다. 이 주장은 틀렸습니다. 어떤 정의나 가정 위배를 설명하십시오.

새로운 상황을 해석하기

• 맥락이 가산적 변화와 곱산적 변화 중 어느 것을 정당화하는지 설명하십시오. 금융에서 합계 공식을 선택하기 전에 단일 예치금과 일련의 예치금을 구분하십시오.
• 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.

이 내용을 과정에 활용하기

• 현재 첫 평가-2021 분석 및 접근법 HL. 이는 작성자 개념 지원 자료이며, 모든 목표에 대한 인증을 위해서는 전체 가이드가 필요합니다.
• 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.

핵심:

기하급수의 인접항 사이의 상수 비(공비). 관계식을 선택하고, 풀이 과정을 제시하며, 그 가정을 검증한 뒤 결과를 해석하십시오.

원래 가격을 복원할 수 있는가?

• 코트가原价의 20% 할인되어 ¥240가 되었습니다. 할인은 판매가가 아닌 원래 가격에 적용됩니다.
• 이 수업에서는 배율(multiplier) 을 다룹니다: 하나의 곱셈 연산에서 백분율 변화를 수행하는 인자입니다.

수학 구조 선택하기

• p% 증가는 배율이 1+p/100이며, 감가는 배율이 1-p/100입니다. 백분율을 반대로 계산하려면 배율로 나누십시오. 비(ratio) 문제에서는 먼저 전체 부분의 수를 구하십시오.
• 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.

검증된 사례를 풀이하기

• 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.

예시:

원본 가격을 P라고 합시다. 모델은 할인 가격=0.8P입니다. 따라서 P=240/0.8=300입니다. 이후 20% 상승으로 인해 240×1.2=288이 되므로 두 변화는 서로 상쇄되지 않습니다.

유혹적인 단축법을 테스트하기

• 백분율은 명시된 기준값을 사용합니다. 백분율을 빼면 그 기준값이 사라집니다. 복합 변화의 경우, 배율(multiplier)을 곱해야 하며, 백분율을 더해서는 안 됩니다.
• 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.

경고:

20% 감소 후 20% 증가가 시작 가격을 복원합니다. 이 주장은 틀렸습니다. 어떤 정의 또는 가정을 위반하는지 설명하십시오.

새로운 상황을 해석하기

• 직접 비례에는 y=kx를, 반비례에는 y=k/x를 사용합니다. 새로운 값을 사용하기 전에 알려진 쌍(k)을 계산하십시오. 무엇을 일정하게 유지했는지 명시하십시오.
• 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.

이 내용을 과정에 활용하기

• 현재 첫 평가-2021 분석 및 접근법 HL. 이는 작성자 개념 지원 자료이며, 모든 목표에 대한 인증을 위해서는 전체 가이드가 필요합니다.
• 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.

핵심:

한 번의 곱셈运算에서 백분율 변화를 수행하는 인자입니다. 관계를 선택하고, 방법을 제시하며, 가정을 확인하고 결과를 해석하십시오.

근이 실수가 아닌 경우?

• 방정식 x²+1=0는 실수근을 가지지 않는다. 수계를 확장하면 두 근을 모두 표현하고 계산할 수 있다.
• 이 수업에서는 복소수 켤레를 다룬다. 허수 부분의 부호를 반대로 바꾼 수이다.

수학 구조 선택하기

• z=a+bi로 쓸 때 i²=-1이다. 켤레는 a-bi이며, z와 켤레의 곱은 a²+b²가 된다. 절대값은 √(a²+b²)이고, 인수는 적절한 사분위를 고려해야 한다. 실수 계수를 갖는 다항식의 복소수 근은 켤레 쌍으로 나타난다.
• 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.

검증된 사례를 풀이하기

• 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.

예시:

z=3+4i인 경우, |z|=5이고 z의 켤레수=3-4i입니다. 역수는 (3-4i)/25입니다. x²-6x+13=0인 방정식의 근은 3±2i입니다. 켤레수에 곱하면 복소 분모를 실수로 만들 수 있습니다.

유혹적인 단축법을 테스트하기

• 합의 제곱근은 제곱근의 합이 아니다. 아탄젠트 값만으로 사분위를 결정하면 오답이 나올 수 있다. 절대값과 절대값의 제곱을 혼동하지 마라.
• 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.

경고:

a+bi에 대해 그 절댓값(모듈러스)은 항상 a+b입니다. 이 주장은 틀렸습니다. 어떤 정의나 가정 위배인지 설명하십시오.

새로운 상황을 해석하기

• 실수축을 수평으로, 허수축을 수직으로 그린다. 곱에 대해서는 절대값끼리 곱하고 인수끼리 더하며, 데 무아브르 정리를 통해 기하학적 패턴이 지수 연산으로 확장된다.
• 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.

이 내용을 과정에 활용하기

• 현재 첫 평가-2021 분석 및 접근법 HL. 이는 작성자 개념 지원 자료이며, 모든 목표에 대한 인증을 위해서는 전체 가이드가 필요합니다.
• 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.

핵심:

허수부의 부호를 반전하여 얻은 수. 관계를 선택하고, 방법을 제시하며, 가정을 검증하고 결과를 해석하시오.

작은 변화가 지수에 미치는 영향은?

• 양의 값의 지수에 작은 측정 오차가 미친 영향을 나타냅니다. 첫 번째 및 두 번째 효과의 크기는 급수 전개로 확인할 수 있습니다.
• 이번 수업에서는 **이항 계수(binomial coefficient)**를 연구합니다: 주어진 집합에서 특정 개수의 물체를 선택하는 방법의 수입니다.

수학 구조 선택하기

• 양의 정수 n에 대해 (a+b)^n은 유한 이항 전개입니다. 비정수 n에 대해서는 (1+x)^n을 1+nx+n(n-1)x²/2+...로 전개하되 |x|<1여야 합니다. 이 형식을 사용하기 전에 상수 요인을 인수로 분리하십시오.
• 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.

검증된 사례를 풀이하기

• 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.

예시:

(1+2x)^5=1+10x+40x²+80x³+80x⁴+32x⁵입니다. (1+x)^(-1)의 첫 세 항은 1-x+x²이며, x=0.1일 때 이 값은 0.91이 됩니다. 반면 정확한 값은 1/1.1≈0.909091입니다.

유혹적인 단축법을 테스트하기

• 2x에 대한 전개는 무한 급수에서 |2x|<1이어야 하며, 단순히 |x|<1일 뿐이지 않습니다. 양의 정수 전개는 유한하며 수렴 조건이 해당되지 않습니다.
• 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.

경고:

모든 이항 전개는 양의 정수가 아닌 지수를 포함하는 유한 다항식이다. 이 주장은 틀렸다. 이 주장이 위배하는 정의 또는 가정을 설명하시오.

새로운 상황을 해석하기

• 근사값과 함께 유효 범위를 명시하십시오. 요청된 정확도를 지원할 만큼 충분한 항을 유지하고, 계수(coefficient)와 x가 포함된 전체 항(term)을 구분하십시오.
• 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.

이 내용을 과정에 활용하기

• 현재 첫 평가-2021 분석 및 접근법 HL. 이는 작성자 개념 지원 자료이며, 모든 목표에 대한 인증을 위해서는 전체 가이드가 필요합니다.
• 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.

핵심:

집합에서 특정 개수의 물체를 선택하는 방법의 수. 관계를 선택하고, 방법을 제시하며, 그 가정들을 검토하고 결과를 해석하시오.

다항식이 지수함수를 근처에서 대체할 수 있는가?

• 알려진 점 근처에서 복잡한 함수를 다항식 근사치로 대체할 수 있다. 이 근사치는 중심과 유효한 범위가 필요하다.
• 이번 수업에서는 테일러 다항식을 연구한다: 선택한 중심에서의 함수의 미분값으로 구성된 다항식이다.

수학 구조 선택하기

• x=a에 대해, f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+...는 전개가 유효할 때 성립한다. a=0일 때 이는 맥클로린 전개이다. 유한 합은 상쇄나 표준 합 공식에 의해 단순화될 수도 있다.
• 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.

검증된 사례를 풀이하기

• 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.

예시:

e^x의 첫 세 항은 1+x+x²/2이다. x=0.1일 때 이 값은 1.105이며, e^0.1≈1.105170과 가깝다. k=1부터 5까지의 k²의 합에 대해 n(n+1)(2n+1)/6은 5×6×11/6=55을 준다.

유혹적인 단축법을 테스트하기

• 계승은 모든 테일러 계수의 분모에 위치해야 한다. 전개 중심이 항상 0은 아니다. 중심 근처에서의 근사치가 멀리서 poor일 수 있다.
• 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.

경고:

테일러 다항식은 모든 입력값에서 원래 함수에 대해 정확하다. 이 주장은 틀렸다. 어떤 정의 또는 가정 위반을 설명하라.

새로운 상황을 해석하기

• 투패일링 급수의 경우 몇 개의 항을 쓰고 살아남는 양 끝점을 식별하십시오. 테일러 근사의 경우 그 차수를 명시하고 필요할 때 알려진 값이나 절단오차 추정치와 비교하십시오.
• 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.

이 내용을 과정에 활용하기

• 현재 첫 평가-2021 분석 및 접근법 HL. 이는 작성자 개념 지원 자료이며, 모든 목표에 대한 인증을 위해서는 전체 가이드가 필요합니다.
• 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.

핵심:

선택한 중심에서의 함수의 미분값으로 구성된 다항식이다. 관계를 선택하고, 방법을 보여주며, 가정을 확인하고 결과를 해석하라.