국제바칼로레이트 · IB Diploma · Mathematics: Analysis and Approaches · HL

지원 HL focus. 첫 평가 2021; 현재는 2028까지. 첫 평가-2029 과정은 별도임. Remaining guide, assessment 및 practical requirements는 기록된 holds를 유지함.

사전 요구사항: 명시된 양과 단위를 읽고, 산술 및 아래 모델 조건을 사용하십시오. 각 수업은 독립적 이전 전에 자체 방법을 개발합니다.

이는 실제 측정값이나 완성된 평가된 학습자 조사가 아닌, 원작 또는 명시적으로 허구적인 교육 예시입니다.

남김 없이 포장할 수 있을까?

• 공급업체는 각 선물봉투에 72개의 연필과 90개의 펜을 넣습니다. 남김 없이 포장하려면 어떻게 해야 합니까?
• 이 수업에서는 **소인수(prime factor)**를 다룹니다. 정수를 정확히 나누는 소수입니다.

수학 구조 선택하기

• 소인수는 공통 구조를 밝혀줍니다. 최대공약수(HCF)에는 가장 작은 공통 소수의 제곱을 사용하고, 최소공배수(LCM)에는 가장 큰 것을 사용합니다. 계산 전에 추정하고, 연산 순서를 유지하기 위해 괄호를 사용하십시오.
• 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.

검증된 사례를 풀이하기

• 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.

예시:

72=2^3×3^2이고 90=2×3^2×5입니다. 그들의 HCF는 2×9=18입니다. 18개의 봉투를 만들어 각봉투에 4개의 연필과 5개의 펜을 넣으십시오. 그들의 LCM은 2^3×3^2×5=360입니다.

유혹적인 단축법을 테스트하기

• 최대공약수는 두 수를 모두 나눕니다. 최소공배수는 두 수의 배수입니다. 서로 다른 질문에 대한 답을 줍니다. 소수 추정값은 정확한 분수가 아닙니다.
• 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.

경고:

두 양의 정수의 최대공약수는 항상 각 정수보다 큽니다. 이 주장은 틀렸습니다. 이 주장이 어떤 정의나 가정과 모순되는지 설명하십시오.

새로운 상황을 해석하기

• 계산기 사용 금지 시험에서는 분수를 정확히 유지하고 약분을 표시하십시오. 계산기 사용 시험에서는 전체 식을 입력하여 추정값과 비교하십시오.
• 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.

이 내용을 과정에 활용하기

• 현재 첫 평가-2021 분석 및 접근법 HL. 이는 작성자 개념 지원 자료이며, 모든 목표에 대한 인증을 위해서는 전체 가이드가 필요합니다.
• 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.

핵심:

정수를 정확히 나누는 소수입니다. 관계를 선택하고, 방법을 제시하며, 가정을 점검하고, 결과를 해석하십시오.

미세 길이는 얼마나 작을까?

• 현미경으로 측정한 길이가 0.000072 미터입니다. 압축 표현은 크기를 정확하게 유지해야 합니다.
• 이 수업에서는 지수(index) 를 다룹니다: 밑(base)이 몇 번 제곱되는지를 나타내는 지수입니다.

수학 구조 선택하기

• 동일한 양의 밑에 대해, 곱셈은 지수를 더하고 나셈은 지수를 뺍니다. 음의 지수는 역수를 의미하며, 분수 지수는 근(root)을 나타냅니다. 표준형은 1≤a<10입니다.
• 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.

검증된 사례를 풀이하기

• 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.

예시:

0.000072=7.2×10^(-5). 또한 16^(3/4)=(16^(1/4))^3=2^3=8. √72=6√2로 단순화한 후, $1/\sqrt{2}$=√2/2를 분모 무理化하시오.

유혹적인 단축법을 테스트하기

• 지수 법칙은 합을 하나의 지수로 변환하지 않습니다: 2^3+2^4=24이며, 2^7가 아닙니다. 정확한 답이 요구될 때는 무리수를 반올림하지 마십시오.
• 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.

경고:

모든 양수 a에 대해, a^2+a^3는 a^5와 같다. 이 주장은 틀렸다. 이 주장이 위배하는 정의나 가정 중 어느 것을 설명하시오.

새로운 상황을 해석하기

• 10의 거듭제곱을 원래 값과 대조하라. 정확한 기하학적 계산에는 무리수를 사용하고, 문제가 소수점 값을 요청할 때만 최종 길이를 반올림하라.
• 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.

이 내용을 과정에 활용하기

• 현재 첫 평가-2021 분석 및 접근법 HL. 이는 작성자 개념 지원 자료이며, 모든 목표에 대한 인증을 위해서는 전체 가이드가 필요합니다.
• 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.

핵심:

밑수가 치환되는 지수이다. 관계를 선택하고, 방법을 제시하며, 가정을 확인하고, 결과를 해석하라.

변화는 더하는지 곱하는가?

• 절약 계획은 매주 ¥30씩 추가储蓄; 인구 모델은 매년 5%씩 증가합니다. 동일한 차수와 동일한 비는 서로 다른 모델을 필요로 합니다.
• 이 수업에서는 공비를 다룹니다: 등비수열에서 인접한 항 사이의 상수 곱인 비율입니다.

수학 구조 선택하기

• 등차수열에서 u_n=a+(n-1)d이며 S_n=n(2a+(n-1)d)/2입니다. 등비수열에서 u_n=ar^(n-1)이며 S_n=a(1-r^n)/(1-r)입니다. 무한등비급수는 |r|<1일 때만 존재합니다.
• 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.

검증된 사례를 풀이하기

• 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.

예시:

a=5, d=3, n=8인 경우 u_8=5+7×3=26이며 S_8=8(10+21)/2=124이다. a=12, r=1/2인 무한등비수열의 합은 S infinity=12/(1-1/2)=24이다. u_(n+1)=2u_n+1且 u_1=1인 재귀 관계에서 다음 항은 3,7,15이다.

유혹적인 단축법을 테스트하기

• 첫 번째 항의 인덱스는 1이므로 지수는 n-1입니다. 수열은 나열이고, 급수는 합입니다. 등비수열은 부호가 번갈아 가더라도 수렴할 수 있습니다.
• 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.

경고:

모든 등비급수는 무한합을 가집니다. 이 주장은 틀렸습니다. 어떤 정의나 가정 위배를 설명하십시오.

새로운 상황을 해석하기

• 맥락이 가산적 변화와 곱산적 변화 중 어느 것을 정당화하는지 설명하십시오. 금융에서 합계 공식을 선택하기 전에 단일 예치금과 일련의 예치금을 구분하십시오.
• 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.

이 내용을 과정에 활용하기

• 현재 첫 평가-2021 분석 및 접근법 HL. 이는 작성자 개념 지원 자료이며, 모든 목표에 대한 인증을 위해서는 전체 가이드가 필요합니다.
• 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.

핵심:

기하급수의 인접항 사이의 상수 비(공비). 관계식을 선택하고, 풀이 과정을 제시하며, 그 가정을 검증한 뒤 결과를 해석하십시오.

원래 가격을 복원할 수 있는가?

• 코트가原价의 20% 할인되어 ¥240가 되었습니다. 할인은 판매가가 아닌 원래 가격에 적용됩니다.
• 이 수업에서는 배율(multiplier) 을 다룹니다: 하나의 곱셈 연산에서 백분율 변화를 수행하는 인자입니다.

수학 구조 선택하기

• p% 증가는 배율이 1+p/100이며, 감가는 배율이 1-p/100입니다. 백분율을 반대로 계산하려면 배율로 나누십시오. 비(ratio) 문제에서는 먼저 전체 부분의 수를 구하십시오.
• 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.

검증된 사례를 풀이하기

• 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.

예시:

원본 가격을 P라고 합시다. 모델은 할인 가격=0.8P입니다. 따라서 P=240/0.8=300입니다. 이후 20% 상승으로 인해 240×1.2=288이 되므로 두 변화는 서로 상쇄되지 않습니다.

유혹적인 단축법을 테스트하기

• 백분율은 명시된 기준값을 사용합니다. 백분율을 빼면 그 기준값이 사라집니다. 복합 변화의 경우, 배율(multiplier)을 곱해야 하며, 백분율을 더해서는 안 됩니다.
• 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.

경고:

20% 감소 후 20% 증가가 시작 가격을 복원합니다. 이 주장은 틀렸습니다. 어떤 정의 또는 가정을 위반하는지 설명하십시오.

새로운 상황을 해석하기

• 직접 비례에는 y=kx를, 반비례에는 y=k/x를 사용합니다. 새로운 값을 사용하기 전에 알려진 쌍(k)을 계산하십시오. 무엇을 일정하게 유지했는지 명시하십시오.
• 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.

이 내용을 과정에 활용하기

• 현재 첫 평가-2021 분석 및 접근법 HL. 이는 작성자 개념 지원 자료이며, 모든 목표에 대한 인증을 위해서는 전체 가이드가 필요합니다.
• 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.

핵심:

한 번의 곱셈运算에서 백분율 변화를 수행하는 인자입니다. 관계를 선택하고, 방법을 제시하며, 가정을 확인하고 결과를 해석하십시오.

근이 실수가 아닌 경우?

• 방정식 x²+1=0는 실수근을 가지지 않는다. 수계를 확장하면 두 근을 모두 표현하고 계산할 수 있다.
• 이 수업에서는 복소수 켤레를 다룬다. 허수 부분의 부호를 반대로 바꾼 수이다.

수학 구조 선택하기

• z=a+bi로 쓸 때 i²=-1이다. 켤레는 a-bi이며, z와 켤레의 곱은 a²+b²가 된다. 절대값은 √(a²+b²)이고, 인수는 적절한 사분위를 고려해야 한다. 실수 계수를 갖는 다항식의 복소수 근은 켤레 쌍으로 나타난다.
• 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.

검증된 사례를 풀이하기

• 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.

예시:

z=3+4i인 경우, |z|=5이고 z의 켤레수=3-4i입니다. 역수는 (3-4i)/25입니다. x²-6x+13=0인 방정식의 근은 3±2i입니다. 켤레수에 곱하면 복소 분모를 실수로 만들 수 있습니다.

유혹적인 단축법을 테스트하기

• 합의 제곱근은 제곱근의 합이 아니다. 아탄젠트 값만으로 사분위를 결정하면 오답이 나올 수 있다. 절대값과 절대값의 제곱을 혼동하지 마라.
• 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.

경고:

a+bi에 대해 그 절댓값(모듈러스)은 항상 a+b입니다. 이 주장은 틀렸습니다. 어떤 정의나 가정 위배인지 설명하십시오.

새로운 상황을 해석하기

• 실수축을 수평으로, 허수축을 수직으로 그린다. 곱에 대해서는 절대값끼리 곱하고 인수끼리 더하며, 데 무아브르 정리를 통해 기하학적 패턴이 지수 연산으로 확장된다.
• 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.

이 내용을 과정에 활용하기

• 현재 첫 평가-2021 분석 및 접근법 HL. 이는 작성자 개념 지원 자료이며, 모든 목표에 대한 인증을 위해서는 전체 가이드가 필요합니다.
• 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.

핵심:

허수부의 부호를 반전하여 얻은 수. 관계를 선택하고, 방법을 제시하며, 가정을 검증하고 결과를 해석하시오.

작은 변화가 지수에 미치는 영향은?

• 양의 값의 지수에 작은 측정 오차가 미친 영향을 나타냅니다. 첫 번째 및 두 번째 효과의 크기는 급수 전개로 확인할 수 있습니다.
• 이번 수업에서는 **이항 계수(binomial coefficient)**를 연구합니다: 주어진 집합에서 특정 개수의 물체를 선택하는 방법의 수입니다.

수학 구조 선택하기

• 양의 정수 n에 대해 (a+b)^n은 유한 이항 전개입니다. 비정수 n에 대해서는 (1+x)^n을 1+nx+n(n-1)x²/2+...로 전개하되 |x|<1여야 합니다. 이 형식을 사용하기 전에 상수 요인을 인수로 분리하십시오.
• 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.

검증된 사례를 풀이하기

• 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.

예시:

(1+2x)^5=1+10x+40x²+80x³+80x⁴+32x⁵입니다. (1+x)^(-1)의 첫 세 항은 1-x+x²이며, x=0.1일 때 이 값은 0.91이 됩니다. 반면 정확한 값은 1/1.1≈0.909091입니다.

유혹적인 단축법을 테스트하기

• 2x에 대한 전개는 무한 급수에서 |2x|<1이어야 하며, 단순히 |x|<1일 뿐이지 않습니다. 양의 정수 전개는 유한하며 수렴 조건이 해당되지 않습니다.
• 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.

경고:

모든 이항 전개는 양의 정수가 아닌 지수를 포함하는 유한 다항식이다. 이 주장은 틀렸다. 이 주장이 위배하는 정의 또는 가정을 설명하시오.

새로운 상황을 해석하기

• 근사값과 함께 유효 범위를 명시하십시오. 요청된 정확도를 지원할 만큼 충분한 항을 유지하고, 계수(coefficient)와 x가 포함된 전체 항(term)을 구분하십시오.
• 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.

이 내용을 과정에 활용하기

• 현재 첫 평가-2021 분석 및 접근법 HL. 이는 작성자 개념 지원 자료이며, 모든 목표에 대한 인증을 위해서는 전체 가이드가 필요합니다.
• 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.

핵심:

집합에서 특정 개수의 물체를 선택하는 방법의 수. 관계를 선택하고, 방법을 제시하며, 그 가정들을 검토하고 결과를 해석하시오.

다항식이 지수함수를 근처에서 대체할 수 있는가?

• 알려진 점 근처에서 복잡한 함수를 다항식 근사치로 대체할 수 있다. 이 근사치는 중심과 유효한 범위가 필요하다.
• 이번 수업에서는 테일러 다항식을 연구한다: 선택한 중심에서의 함수의 미분값으로 구성된 다항식이다.

수학 구조 선택하기

• x=a에 대해, f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+...는 전개가 유효할 때 성립한다. a=0일 때 이는 맥클로린 전개이다. 유한 합은 상쇄나 표준 합 공식에 의해 단순화될 수도 있다.
• 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.

검증된 사례를 풀이하기

• 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.

예시:

e^x의 첫 세 항은 1+x+x²/2이다. x=0.1일 때 이 값은 1.105이며, e^0.1≈1.105170과 가깝다. k=1부터 5까지의 k²의 합에 대해 n(n+1)(2n+1)/6은 5×6×11/6=55을 준다.

유혹적인 단축법을 테스트하기

• 계승은 모든 테일러 계수의 분모에 위치해야 한다. 전개 중심이 항상 0은 아니다. 중심 근처에서의 근사치가 멀리서 poor일 수 있다.
• 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.

경고:

테일러 다항식은 모든 입력값에서 원래 함수에 대해 정확하다. 이 주장은 틀렸다. 어떤 정의 또는 가정 위반을 설명하라.

새로운 상황을 해석하기

• 투패일링 급수의 경우 몇 개의 항을 쓰고 살아남는 양 끝점을 식별하십시오. 테일러 근사의 경우 그 차수를 명시하고 필요할 때 알려진 값이나 절단오차 추정치와 비교하십시오.
• 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.

이 내용을 과정에 활용하기

• 현재 첫 평가-2021 분석 및 접근법 HL. 이는 작성자 개념 지원 자료이며, 모든 목표에 대한 인증을 위해서는 전체 가이드가 필요합니다.
• 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.

핵심:

선택한 중심에서의 함수의 미분값으로 구성된 다항식이다. 관계를 선택하고, 방법을 보여주며, 가정을 확인하고 결과를 해석하라.

지원 HL focus. 첫 평가 2021; 현재는 2028까지. 첫 평가-2029 과정은 별도임. Remaining guide, assessment 및 practical requirements는 기록된 holds를 유지함.

사전 요구사항: 명시된 양과 단위를 읽고, 산술 및 아래 모델 조건을 사용하십시오. 각 수업은 독립적 이전 전에 자체 방법을 개발합니다.

이는 실제 측정값이나 완성된 평가된 학습자 조사가 아닌, 원작 또는 명시적으로 허구적인 교육 예시입니다.

허용되는 입력은 무엇인가?

• 제곱근 모델은 특정 입력값에서만 실수 출력을 산출한다. 공식 자체만으로는 완전한 함수를 정의하지 못한다.
• 이 수업에서는 정의역(domain) 을 다룬다: 함수에 허용되는 입력값들의 집합이다.

수학 구조 선택하기

• 정의역과 치역을 구하시오. 역함수를 구하기 전, 먼저 함수가 정의역에서 일대일 correspondance를 만족하는지 확인하십시오. 합성 fg는 g를 먼저 적용한 후 f를 적용하는 것을 의미하며, 중간 출력값은 f에 대한 유효한 입력값이어야 합니다.
• 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.

검증된 사례를 풀이하기

• 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.

예시:

f(x)=√(x-2)인 경우 x≥2이며 치역은 y≥0입니다. y=√(x-2)에서 x=y²+2로 정리할 수 있습니다. 따라서 역함수 f inverse(x)=x²+2이며, 이는 x≥0의 범위에서 성립합니다. g(x)=x+3인 경우, fg(1)=f(4)=√2입니다.

유혹적인 단축법을 테스트하기

• 제곱 연산은 부수적 해(extraneous solutions)를 생성할 수 있습니다. 역함수가 존재함을 주장하기 전에 포물선의 정의역을 제한하는 것이 필수적입니다. f 내부의 수평 이동 방향은 그래프의 실제 이동 방향과 반대부호를 가집니다.
• 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.

경고:

모든 실수 전체에서의 이차함수는 역함수를 가집니다. 이 주장은 틀렸습니다. 어떤 정의나 가정과 위배되는지 설명하십시오.

새로운 상황을 해석하기

• 역함수 정의역에서 f(f inverse(x))=x인지 확인하십시오. 스킷을 사용하여 수평선이 원본 그래프를 한 번 이상 교차하는지 테스트하십시오.
• 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.

이 내용을 과정에 활용하기

• 현재 첫 평가-2021 분석 및 접근법 HL. 이는 작성자 개념 지원 자료이며, 모든 목표에 대한 인증을 위해서는 전체 가이드가 필요합니다.
• 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.

핵심:

함수에 허용된 입력의 집합입니다. 관계를 선택하고, 방법을 제시하며, 가정 조건을 확인하고 결과를 해석하십시오.

감쇠 모델이 왜 양의 값을 유지하는가?

• 약물의 농도는 매 시간 동일한 비율로 감소한다. 일정한 값을 빼면 결국 음수 값을 예측하게 될 것이다.
• 본 수업에서는 반감기를 다룬다: 감소하는 양이 초기 값의 절반이 되는 데 걸리는 시간이다.

수학 구조 선택하기

• y=Ae^(kt)에서 k는 비례 상수이다. 양변에 로그를 취하면 ln y=ln A+kt가 된다. 로그함수는 양수 arguments만 허용하며, log(x+y)는 log x+log y와 같지 않다.
• 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.

검증된 사례를 풀이하기

• 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.

예시:

y=80e^(-0.2t)이고 y=40이면 e^(-0.2t)=1/2이 된다. 따라서 t=ln2/0.2≈3.466이다. 3^x=20인 경우, x=ln20/ln3이다. ln y를 t에 대해 그래프를 그리면 지수 모델을 직선화할 수 있다.

유혹적인 단축법을 테스트하기

• 피팅된 지수함수는 모델이지 보장条件是 아니다. 사용 시간 단위와 적용 범위를 명시하시오. k가 음수이면 감쇠를 의미하며, 시작 값이 음수인 경우는 보통 문맥과 모순된다.
• 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.

경고:

양수 x, y에 대하여 ln(x+y)=ln x+ln y이다. 이 주장이 틀렸음을 보이며, 어떤 정의나 가정과 모순되는지 설명하시오.

새로운 상황을 해석하기

• 실제 관측치와 모델을 비교하시오. 체계적인 편차는 환경 변화 가능성을 시사할 수 있다. 보고서에서는 단순한 식을 제시하기보다 비례 상수와 초기 값이 어떤 의미를 가지는지 설명하시오.
• 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.

이 내용을 과정에 활용하기

• 현재 첫 평가-2021 분석 및 접근법 HL. 이는 작성자 개념 지원 자료이며, 모든 목표에 대한 인증을 위해서는 전체 가이드가 필요합니다.
• 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.

핵심:

감소하는 양이 초기 값의 절반이 되는 데 걸리는 시간이다. 관계식을 선택하고, 계산 방법을 제시하며, 가정을 검증하고 결과를 해석하시오.

Supported HL focus. First assessment 2021; current through 2028. First-assessment-2029 course is separate.. Remaining guide, assessment and practical requirements retain their recorded holds.

Prerequisites: read the stated quantities and units, use arithmetic and the model conditions below. Each lesson develops its own method before independent transfer.

These are original or explicitly fictional teaching examples, not actual measurements or completed assessed learner investigations.

Does volume scale like length?

• A model has lengths one third of the real object. How much smaller are its area and volume?
• This lesson studies scale factor 相似比: The multiplier that relates corresponding lengths in similar shapes.

Choose the mathematical structure

• For similar shapes with length scale factor k, areas scale by k² and volumes by k³. State angle reasons explicitly. A circle's tangent is perpendicular to the radius at the contact point.
• State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.

Work through a checked case

• Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.

Example:

If model-to-real length factor is 3, a model area of 12 cm² gives 12×3²=108 cm² and a model volume of 8 cm³ gives 8×3³=216 cm³. A cylinder with r=3,h=5 has volume πr²h=45π.

Test a tempting shortcut

• Equal angles alone establish similarity, not equal size. Use corresponding lengths in the same order. Convert linear units before calculating area or volume, or square/cube the conversion factor correctly.
• When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.

Warn:

Doubling every length of a solid doubles its volume. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.

Interpret a new situation

• A geometric proof should name the relevant theorem, identify the equal angle or ratio, and draw the conclusion. A scale drawing is evidence only when the task permits measurement.
• A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.

Use this in your course

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches HL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
• Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.

Key:

The multiplier that relates corresponding lengths in similar shapes. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.

Which side does the ladder need?

• A ladder reaches a height of 4 m while its foot is 3 m from a wall. Which sides are known, and which angle do we need?
• This lesson studies hypotenuse 斜边: The side opposite the right angle in a right-angled triangle.

Choose the mathematical structure

• In a right triangle a²+b²=c²; sinθ=opposite/hypotenuse, cosθ=adjacent/hypotenuse and tanθ=opposite/adjacent. For other triangles, use the sine or cosine rule, or area=ab sin C/2.
• State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.

Work through a checked case

• Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.

Example:

The ladder length is c=√(3²+4²)=5 m. Its angle to the ground satisfies tanθ=4/3, so θ≈53.1°. With two sides 6 and 8 enclosing 60°, c²=6²+8²-2×6×8 cos60°=52.

Test a tempting shortcut

• Label sides relative to the chosen angle. Pythagoras needs a right angle. A calculator angle mode error can produce a plausible but wrong result. Keep unrounded values for later steps.
• When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.

Warn:

Pythagoras applies to every triangle, including triangles without a right angle. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.

Interpret a new situation

• Use a plan or elevation for a three-dimensional problem before applying a triangle rule. Explain why the chosen triangle contains the required length or angle.
• A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.

Use this in your course

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches HL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
• Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.

Key:

The side opposite the right angle in a right-angled triangle. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.

How far does the rim travel?

• A rotating wheel sweeps an arc. Radians let its angle connect directly to the distance travelled along the rim.
• This lesson studies radian 弧度: The angle subtended by an arc whose length equals the radius.

Choose the mathematical structure

• For θ in radians, arc length s=rθ and sector area A=r²θ/2. Use sin²θ+cos²θ=1 and angle identities to simplify or solve. List every solution in the stated interval.
• State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.

Work through a checked case

• Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.

Example:

For r=4 and θ=π/3, s=4π/3 and A=8π/3. Solving sin x=1/2 on 0≤x<2π gives x=π/6 and 5π/6. For sin2x=1/2, solve first on 0≤2x<4π before dividing by 2.

Test a tempting shortcut

• A calculator's inverse sine gives one principal value. It does not give every solution. Dividing by sin x can discard solutions where sin x=0; check that case first.
• When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.

Warn:

The principal inverse sine value is always the only solution in a full turn. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.

Interpret a new situation

• Choose an identity that reduces the equation to one trigonometric function. Keep exact familiar angles where possible, and check each solution against the original equation.
• A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.

Use this in your course

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches HL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
• Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.

Key:

The angle subtended by an arc whose length equals the radius. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.

Why is displacement shorter than the walk?

• Walking 4 m east and 3 m north gives a displacement of 5 m, even though the travelled distance is 7 m.
• This lesson studies resultant 合向量: The vector sum representing the combined displacement or force.

Choose the mathematical structure

• Add corresponding vector components. A displacement from A to B is OB-OA. Parallel vectors are scalar multiples. A vector has magnitude and direction; a distance is a scalar.
• State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.

Work through a checked case

• Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.

Example:

With a=(4,1) and b=(1,3), a+b=(5,4). Their scalar product is a·b=4×1+1×3=7. The magnitude of a is √17. For A=(1,2), B=(5,5), AB=(4,3) and |AB|=5.

Test a tempting shortcut

• The order of subtraction matters: BA=-AB. Proving parallelism needs a scalar-multiple relation; a sketch alone is insufficient. Negative enlargement reverses position about its centre.
• When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.

Warn:

AB and BA always have the same components. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.

Interpret a new situation

• For a translation, every point uses the same displacement. For advanced line problems, distinguish the position vector from a direction vector and solve parameter equations consistently.
• A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.

Use this in your course

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches HL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
• Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.

Key:

The vector sum representing the combined displacement or force. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.

지원 HL focus. 첫 평가 2021; 현재는 2028까지. 첫 평가-2029 과정은 별도임. Remaining guide, assessment 및 practical requirements는 기록된 holds를 유지함.

사전 요구사항: 명시된 양과 단위를 읽고, 산술 및 아래 모델 조건을 사용하십시오. 각 수업은 독립적 이전 전에 자체 방법을 개발합니다.

이는 실제 측정값이나 완성된 평가된 학습자 조사가 아닌, 원작 또는 명시적으로 허구적인 교육 예시입니다.

하나의 평균으로 전체를 알 수 있을까?

• 두 집단의 중앙값은 같으나 산포가 다릅니다. 하나의 요약 통계량으로 위치와 일관성을 모두 설명할 수 없습니다.
• 이 수업에서는 **빈도 밀도(frequency density)**를 다룹니다: 빈도를 계급폭으로 나눈 값으로 히스토그램의 높이에 사용됩니다.

수학 구조 선택하기

• 문맥에 맞는 적절한 평균과 산포를 비교하십시오. 히스토그램은 면적이 빈도를 나타내므로, 높이=빈도/계급폭입니다. 그룹화된 추정치는 구간 내 대표값을 가정합니다.
• 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.

검증된 사례를 풀이하기

• 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.

예시:

10부터 20까지인 계급으로 빈도가 30인 경우 밀도는 30/10=3입니다. 20부터 40까지인 계급으로 빈도가 20인 경우 밀도는 20/20=1입니다. 더 넓은 막대가 더 높은 밀도를 의미하는 것은 아닙니다. 값이 2,4,4,6,9일 때, 중앙값은 4이고 평균은 5입니다.

유혹적인 단축법을 테스트하기

• 가장 높은 히스토그램 막대가 가장 많은 관측치를 포함할 필요는 없습니다. 그룹화된 평균은 추정치일 뿐입니다. 상관관계는 인과성을 증명하지 않으며, 외삽(extrapolation)은 관찰 범위를 넘어inta합니다.
• 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.

경고:

히스토그램 막대의 높이는 항상 빈도와 같다는 주장은 부등한 계급폭에도 적용된다고 합니다. 이는 틀린 말입니다. 어떤 정의나 가정을 위배하는지 설명하십시오.

새로운 상황을 해석하기

• 데이터 유형에 적합한 표시법을 선택하십시오. 수치적 비교와 그것이 인구(모집단)에 대한 의미를 제시하되, 표본이 지지하는 정밀도보다 더 많은 것을 추론하지 마십시오.
• 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.

이 내용을 과정에 활용하기

• 현재 첫 평가-2021 분석 및 접근법 HL. 이는 작성자 개념 지원 자료이며, 모든 목표에 대한 인증을 위해서는 전체 가이드가 필요합니다.
• 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.

핵심:

빈도를 계급폭으로 나눈 값으로 히스토그램의 높이에 사용됩니다. 관계를 선택하고, 방법을 제시하며, 가정을 검토한 후 결과를 해석하십시오.

첫 번째 추출 후 무엇이 달라지는가?

• 주머니에 3개의 빨간색과 2개의 파란색 마ーカー가 들어 있습니다. 같은 색을 두 번 뽑을 때, 두 번째 뽑기의 확률이 변합니다(비교환법).
• 이 수업에서는 조건부 확률을 다룹니다: 표본공간을 특정 조건으로 제한했을 때 사건이 발생할 확률입니다.

수학 구조 선택하기

• 나뭇가지를 따라 곱하고 분리된 나뭇가지를 더합니다. 치환 시 구성은 일정하게 유지됩니다. 조건부 확률은 P(B) > 0일 때 P(A given B)=P(A∩B)/P(B)입니다.
• 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.

검증된 사례를 풀이하기

• 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.

예시:

비교환법일 때, 두 개 모두 빨간색일 확률=3/5×2/4=3/10. 각 하나씩 나올 확률=3/5×2/4+2/5×3/4=3/5. 만약 P(A∩B)=0.12이고 P(B)=0.3라면, 조건부 확률 P(A given B)=0.4입니다.

유혹적인 단축법을 테스트하기

• 서로소 mutually exclusive는 겹침이 없다는 뜻이며, 독립 independent는 한 사건의 발생 여부가 다른 사건의 확률을 바꾸지 않는다는 뜻입니다. 양의 확률을 가진 서로소 사건들은 독립적이지 않습니다.
• 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.

경고:

양의 확률을 가진 서로소 사건들은 반드시 독립적이다. 이 주장은 틀렸습니다. 어떤 정의나 가정을 위반하는지 설명하십시오.

새로운 상황을 해석하기

• 양방향 표는 제한된 분모를 명확하게 보여줍니다. 곱 P(A)P(B)를 사용하기 전에 문맥이나 제공된 정보로부터 독립성을 정당화하십시오.
• 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.

이 내용을 과정에 활용하기

• 현재 첫 평가-2021 분석 및 접근법 HL. 이는 작성자 개념 지원 자료이며, 모든 목표에 대한 인증을 위해서는 전체 가이드가 필요합니다.
• 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.

핵심:

표본공간을 특정 조건으로 제한했을 때 사건의 확률입니다. 관계식을 선택하고, 계산 방법을 제시하며, 해당 가정을 검증한 뒤 결과를 해석하십시오.

어떤 요인이 횟수를 예측 가능하게 하는가?

• 품질 검사원이 불량품을 세는 수치는 무작위이지만, 모델은 그 예상 범위를 설명할 수 있습니다.
• 이 수업에서는 기대값 expected value를 다룹니다: 무작위 변수의 확률 가중 평균입니다.

수학 구조 선택하기

• 이항 모델은 고정된 n, 독립적 실험, 두 가지 결과, 일정한 p를 필요로 합니다. E(X)=np이고 Var(X)=np(1-p)입니다. 정규 모델에는 z=(x-μ)/σ을 사용합니다. 푸아송 모델은 일정한 속도와 적절한 독립성 가정을 가진 계수들을 묘사합니다.
• 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.

검증된 사례를 풀이하기

• 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.

예시:

X가 이항분포 binomial(5,0.2)일 때, P(X=0)=0.8^5=0.32768이며, E(X)=1, Var(X)=0.8입니다. μ=100, σ=15인 정규량에서 값 130의 z는 ⟨2⟩입니다. 시간당 푸아송 평균이 3이면 2시간 동안의 평균은 ⟨6⟩입니다.

유혹적인 단축법을 테스트하기

• 모든 세기(count)가 이항 분포를 따르는 것은 아닙니다. p의 변화나 종속성은 이를 무효화할 수 있습니다. 연속 변수의 경우 특정 한 값에 대한 확률은 0입니다. 이산 분포를 정규 분포로 근사할 때는 연성 보정(continuity correction)이 중요합니다.
• 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.

경고:

모든 성공의 세기는 종속성에 상관없이 이항 분포를 따른다는 주장은 틀렸습니다. 어떤 정의나 가정을 위반했는지 설명하십시오.

새로운 상황을 해석하기

• 계산기 분포 함수를 사용하기 전에 사건을 부등식으로 작성하십시오. P(X<k), P(X≤k), 그리고 꼬리의 보완을 구분하십시오. 맥락에서 가정을 명시하십시오.
• 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.

이 내용을 과정에 활용하기

• 현재 첫 평가-2021 분석 및 접근법 HL. 이는 작성자 개념 지원 자료이며, 모든 목표에 대한 인증을 위해서는 전체 가이드가 필요합니다.
• 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.

핵심:

확률 변수의 확률 가중 평균입니다. 관계식을 선택하고, 방법을 제시하며, 그 가정을 확인하고 결과를 해석하십시오.

Supported HL focus. First assessment 2021; current through 2028. First-assessment-2029 course is separate.. Remaining guide, assessment and practical requirements retain their recorded holds.

Prerequisites: read the stated quantities and units, use arithmetic and the model conditions below. Each lesson develops its own method before independent transfer.

These are original or explicitly fictional teaching examples, not actual measurements or completed assessed learner investigations.

What is the slope at one point?

• A curved road has different slopes at different positions. An average gradient cannot describe every point.
• This lesson studies derivative 导数: The instantaneous rate of change, also the gradient of a tangent.

Choose the mathematical structure

• For y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1). A stationary point satisfies dy/dx=0. Check the sign change of the derivative, or the second derivative when it is nonzero, to classify it.
• State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.

Work through a checked case

• Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.

Example:

For y=x³-3x, dy/dx=3x²-3. At x=1, the gradient is 0 and y=-2. The second derivative is 6x, positive at x=1, so this is a local minimum. At x=-1, y=2 and the second derivative is negative, giving a local maximum.

Test a tempting shortcut

• A zero derivative does not always mean a maximum or minimum: y=x³ is stationary at 0 but continues increasing. An endpoint can also produce an extreme value on a restricted domain.
• When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.

Warn:

Every point with zero derivative is a local maximum or minimum. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.

Interpret a new situation

• At GCSE/IGCSE use only the polynomial scope allowed by the tier; do not add chain, product or quotient rules there. At advanced level, connect the derivative to rates and optimization with a valid domain.
• A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.

Use this in your course

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches HL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
• Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.

Key:

The instantaneous rate of change, also the gradient of a tangent. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.

How much change has accumulated?

• A velocity graph tells us motion at an instant. How can we recover the displacement accumulated over time?
• This lesson studies antiderivative 原函数: A function whose derivative equals the given integrand.

Choose the mathematical structure

• For n≠-1, the integral of ax^n is ax^(n+1)/(n+1)+C. A definite integral is signed accumulation. Split at sign changes when total area or distance is required.
• State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.

Work through a checked case

• Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.

Example:

For v(t)=3t²-3 over 0≤t≤2, displacement=[t³-3t]_0^2=2. Since v changes sign at t=1, distance=-[t³-3t]_0^1+[t³-3t]_1^2=2+4=6. The constants cancel only for a definite integral.

Test a tempting shortcut

• The integral of 1/x is ln|x|+C, not the power rule with n=-1. Signed area can be zero even when the total enclosed area is positive.
• When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.

Warn:

A definite integral always equals the total positive area, even when the graph crosses the axis. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.

Interpret a new situation

• Identify what the integral means and include the correct units. A rate measured per second integrates to the underlying quantity, not to another rate. Differentiate an antiderivative to check it.
• A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.

Use this in your course

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches HL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
• Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.

Key:

A function whose derivative equals the given integrand. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.

Does the inside expression change too?

• A cost curve is a power of a changing expression. Differentiating the outer power alone misses the rate of its input.
• This lesson studies chain rule 链式法则: The rule that multiplies the outer derivative by the inner derivative for a composite function.

Choose the mathematical structure

• For y=f(g(x)), y prime=f prime(g(x))g prime(x). For uv, differentiate to u prime v+uv prime. For u/v, use (u prime v-uv prime)/v², where v≠0.
• State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.

Work through a checked case

• Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.

Example:

For y=(3x+1)^4, y prime=4(3x+1)^3×3=12(3x+1)^3. At x=0, the gradient is 12. For x²+y²=25, differentiate implicitly: 2x+2y y prime=0, so y prime=-x/y when y≠0.

Test a tempting shortcut

• A derivative of a product is not the product of the derivatives. In implicit differentiation, every differentiated function of y brings a dy/dx factor. A quotient's denominator is squared.
• When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.

Warn:

The derivative of u(x)v(x) is always u prime times v prime. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.

Interpret a new situation

• Choose a useful form before differentiating: expanding a short polynomial may be simpler. For related rates, write the relation in symbols, differentiate with respect to time, then substitute measured values.
• A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.

Use this in your course

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches HL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
• Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.

Key:

The rule that multiplies the outer derivative by the inner derivative for a composite function. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.

Can we integrate the two factors separately?

• A simple-looking product such as xe^x cannot be integrated by separately integrating each factor.
• This lesson studies integration by parts 分部积分法: An integration method based on the derivative of a product.

Choose the mathematical structure

• Use substitution when an inner derivative appears as a factor. By parts, integral u v prime =uv-integral u prime v. For a rational function, divide first if needed, then decompose into partial fractions.
• State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.

Work through a checked case

• Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.

Example:

For integral xe^x dx, take u=x and v prime=e^x. Then the integral is xe^x-e^x+C. For integral 2x/(x²+1) dx, substitute w=x²+1, dw=2x dx; the answer is ln(x²+1)+C.

Test a tempting shortcut

• Choosing u and v prime well matters: the remaining integral should become simpler. In a definite substitution, either change the limits or return to x before applying the original limits.
• When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.

Warn:

The integral of a product equals the product of its separate integrals. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.

Interpret a new situation

• Check by differentiating. For volumes of revolution around the x-axis use V=π integral y² dx; do not confuse the square of a function with the integral of the function.
• A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.

Use this in your course

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches HL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
• Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.

Key:

An integration method based on the derivative of a product. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.

What does the starting value decide?

• A growing population's rate is proportional to its current size. The rate equation describes a whole family until an initial population is supplied.
• This lesson studies initial condition 初始条件: A specified value that selects a particular solution from a family.

Choose the mathematical structure

• For dy/dx=ky, separate variables: dy/y=k dx, giving y=Ae^(kx). Use an initial condition to find A. Euler's method takes y next=y+h f(x,y), with a chosen step h.
• State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.

Work through a checked case

• Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.

Example:

With dy/dx=0.5y and y(0)=2, y=2e^(0.5x). Euler with h=0.2 gives y(0.2)≈2+0.2×1=2.2 and y(0.4)≈2.2+0.2×1.1=2.42. The exact second value is about 2.4428.

Test a tempting shortcut

• An initial condition determines the integration constant; it is not a replacement for integrating. Dividing by y can omit an equilibrium solution y=0. Euler accuracy depends on step size and the equation.
• When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.

Warn:

Every step size gives exactly the same Euler approximation. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.

Interpret a new situation

• For second-order linear equations, combine the complementary function with an appropriate particular integral, then apply the required initial conditions. This is Further Pure scope; check the named unit.
• A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.

Use this in your course

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches HL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
• Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.

Key:

A specified value that selects a particular solution from a family. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.

Supported HL focus. First assessment 2021; current through 2028. First-assessment-2029 course is separate.. Remaining guide, assessment and practical requirements retain their recorded holds.

Prerequisites: read the stated quantities and units, use arithmetic and the model conditions below. Each lesson develops its own method before independent transfer.

These are original or explicitly fictional teaching examples, not actual measurements or completed assessed learner investigations.

What makes an investigation mathematical?

• A student wants to predict queue waiting time at the school canteen. A useful exploration needs a question, data and mathematics the student can explain.
• This lesson studies assumption 假设: A condition adopted to make a mathematical model possible and whose effect should be evaluated.

Choose the mathematical structure

• Frame a focused question with measurable variables and a feasible method. Keep a dated record of decisions, sources and mathematical reasoning. Use technology to support analysis, and explain every important output in your own words.
• State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.

Work through a checked case

• Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.

Example:

A pilot records mean waiting times of 3,5,7 minutes when 10,20,30 people are ahead. A first model is t=1+0.2n. At n=25 it predicts 6 minutes. An actual wait of 8 gives residual 2; investigate varying service rates rather than hiding the mismatch.

Test a tempting shortcut

• Do not copy a sample exploration, invent data or manufacture personal engagement. A prediction is not evidence until it is compared with observations. Consent and privacy matter when collecting school data.
• When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.

Warn:

The school-supervised mathematical exploration can be replaced by a timed written mock exam. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.

Interpret a new situation

• The school supervises topic approval, checkpoints, authenticity and assessment. For the current 2021 course use the current school's guide and criteria; the 2029 inquiry criteria belong to a different assessment version.
• A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.

Use this in your course

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches HL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
• Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.

Key:

A condition adopted to make a mathematical model possible and whose effect should be evaluated. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.