AH · Hamiltonian mechanics and astrophysical scaling

에너지 방법은 스프링 진동자와 궤도를 연결하지만, 좌표와 물리적 가정은 다릅니다.

선행 지식: 26, 41.

• 간단한 해밀토니안 구성
• 정준 방정식 활용
• 중력 및 복사 스케일링 적용

정준 운동량은 p=∂L/∂qdot입니다. 레그endre 변환 H=p qdot−L는 속도 좌표와 운동량으로 표현 가능한 경우 해밀토니안을 제공합니다.

해밀턴의 방정식은 qdot=∂H/∂p 및 pdot=−∂H/∂q입니다. 일반 진동자의 경우 H=p²/(2m)+kq²/2이며, 이는 뉴턴의 법칙을 재현합니다.

원형 중력 궤도의 경우 v²=GM/r이며, 주기²=4π²r³/(GM)입니다. 가정으로는 지배적인 중심 질량과 원형 근사가 포함되며, 타원 궤도는 케플러 법칙에서 반장축을 사용합니다. 질량 m인 원형 위성의 각운동량 크기는 mrv=m sqrt(GMr)이므로, 동일한 위성은 L ∝ sqrt(r)입니다. 반경 비9은 각운동량 비3을, 주기의 비는27을 초래합니다. 이 차이는 동일한 approcentripetal-force 관계에서 기인하므로, 각운동량에 대해 주기 스케일링을 사용하지 마십시오.

방사능 및 관측 플럭스는 등방성 복사에 대해 F=L/(4πd²)를 따릅니다. 흑체는 L=4πR²σT⁴를 가지며, 스펙트럼 피크는 온도에 반비례하여 이동합니다. 내적 복사능과 관측된 밝기를 구분하십시오.

정규 라그랑지안 $L=m\dot q^2/2-kq^2/2$의 경우, 정준 운동량은

속도를 레전드 변환에 대입하면: 이들을 결합하면 $\ddot q=-(k/m)q$을 얻는다. 운동량의 속도로의 역변환 이 필요합니다; 모든 제약 조건이 있는 또는 특이점 라그랑지안에서 가정할 수 없습니다.

해밀토니안은 관련 시스템 가정 하에서만 총 역학적 에너지와 같습니다; 이름에서 이를 보편적으로 추론해서는 안 됩니다.

정규화 운동량: 라그랑지안을 일반화 속도에 대해 미분한 값입니다.

광도: 관측자의 플럭스와 구별되는 총 방출 전력입니다.