QM · Quantum mechanics and atomic physics

상자 속 입자는 제로 기저 상태 운동 에너지를 가질 수 없습니다.#ad confinement이 허용되는 상태를 변경합니다.

필수 지식: 24, 37, 38, 39.

• 파동함수, 연산자 및 측정 확률을 사용한다
• 표준 결합 상태 모델 및 터널링 추론을 풀고 해석한다
• 각운동량, 스핀 및 원자 스펙트럼 원리를 적용하다

상태 파동함수는 모델의 경계 조건을 만족해야 하며 전체 확률이 1이어야 한다: 허용된 영역에서 |ψ(x)|²를 적분한다. 정규직교 상태 φ_j에 대해 중첩 ψ=Σc_jφ_j의 제곱 norme는 교차 항이 0으로 적분되므로 Σ|c_j|²이다. 따라서 N개의 정규직교 상태의 등가중중첩은 계수 크기가 1/sqrt(N)이다. 구성 에너지 하나를 발견할 확률은 c_j가 아닌 |c_j|²이다. 상대 위상은 에너지 확률이 변하지 않더라도 위치 확률에 영향을 줄 수 있다.

관측량은 헤르미트 연산자로 표현된다. 고윳값은 실수이며, 정규화된 상태는 기대값 ⟨A⟩=∫ψ* Aψ dx를 준다. 기대값은 반복적인 준비에 대한 평균이지 단일 측정 결과와 반드시 일치하지 않는다. A가 다항식 항등을 만족하면 고유헌상 state에 적용한다: A⁴=I인 경우, 실수 고윳값은 +1 또는 −1이어야 한다. 헤르미트성 때문에 복소 4차근은 다항식을 풀지만 배제된다.

For an infinite well 0<x<L, ψ(0)=ψ(L)=0 allows sine modes sin(nπx/L), with n=1,2,… . Their energies are E_n=n²π²$\hbar$²/(2mL²), so the ground state is not zero and doubling L divides every energy by four. The equivalent h expression is n²h²/(8mL²); never substitute h for $\hbar$ without its 2π factor. A finite barrier instead permits exponential tails, and a travelling wave in a classically allowed region has oscillatory rather than exponentially decaying spatial dependence.

Operators commute when [A,B]=AB−BA=0; compatible observables can have a common eigenbasis. Since kinetic energy p²/(2m) is a function of p, it commutes with p. A position-dependent potential generally makes H=p²/(2m)+V(x) fail to commute with p. Angular momentum obeys [J_x,J_y]=i$\hbar$J_z and cyclic permutations, while J² commutes with each component. Atomic transitions exchange positive photon energy equal to a level difference; angular momentum and mechanism-specific selection rules restrict which transitions occur.

무한 우물은 0부터 L까지 확장됩니다. 양 끝에서의 파동함수 소멸은 다음을 줍니다

$\psi=(\psi_1+i\psi_2)/\sqrt2$를 준비한다. 직교성은 그 norm이 1이 되도록 한다. 에너지 측정은 E1 또는 4E1를 같은 확률로 산출한다: 이 평균은 허용된 단일 에너지 결과가 아니다. 상대 위상은 시간에 따라 변하여, 따라서 서로 다른 에너지의 중첩은 정상 상태(stationary state)가 아니다.

정지 상태는 확률 밀도가 시간에 무관하더라도 nonzero 에너지를 가질 수 있습니다.

정규화(normalisation): 전체 확률을 1로 만드는 것.

연산자(operator): 관측량을 나타내는 수학적 작용.