RA.2 · Simultaneity, length measurement and velocity transformation

두 관찰자가 두 사건 중 어느 것이 먼저 일어났는지에 대해 disagrees할 수 있으며, 양쪽 모두 맞을 수 있다.

선행 조건: 22.

• 변환된 사건 간격과 적정 길이 및 동시 끝점 판독을 식별함
• 상대론적 속도 합성을 적용하고 네 벡터 불변량을 확인함
• 간격의 부호를 분류하여 사건의 순서를 결정하고 인과적 접촉 가능성을 배제함

표시된 좌표계 운동에 따른 로런츠 변환을 사용한다: S' 좌표계가 S에 대해 +v로 x축 방향으로 움직인다면, x′=γ(x−vt)이고 t′=γ(t−vx/c²)이며, 여기서 γ=1/sqrt(1−v²/c²)이다. 이를 단일 좌표뿐만 아니라 사건 간격 Δx와 Δt에도 적용해야 한다. S에서 동시인 두 사건(Δt=0)이 서로 다른 위치에서 발생하면, S'에서는 Δt′=−γvΔx/c²가 되어 +x 방향이 더 먼 사건이 먼저 일어난다. 동시는 좌표계에 의존하는 것이지 계산 오류가 아니다.

움직이는 막대의 길이는 같은 실험실 시간(Δt=0)에 끝점 위치에서 읽어야 합니다. 그러면 Δx′=γΔx를 통해 L=L0/γ가 되며, 여기서 L0는 정지 좌표계(고유) 길이입니다. 막대 좌표계에서 동시에 끝점을 읽는 것은 실험실 길이를 주지 않습니다. 두 읽기 조건은 서로 다른 질문에 답합니다. 어떤 길이를 인용하기 전에 좌표계와 읽기 조건을 명시하십시오.

간격 s²=c²Δt²−Δx²(주로 minus convention, 한 번 선언됨)는 불변량입니다. s²>0는 시간-like: 사건이 동위치인 좌표계가 존재하며, Δτ=s/c는 그들 사이의 고유 시간입니다. s²<0 is spacelike: a frame exists with the events simultaneous, and sqrt(−s²) is the proper distance. s²=0 is lightlike. Timelike order is the same in every frame; spacelike order can swap, and no signal can join the events because |Δx/Δt|>c.

Collinear velocities add as u=(u′+v)/(1+u′v/c²); the denominator keeps u<c for any u′,v<c, and u′=c gives u=c exactly. Energy and momentum form a four-vector with invariant E²−p²c²=m²c⁴: compute it in any convenient frame. Check each result in the nonrelativistic limit, where the addition rule reduces to u=u′+v and the invariant reduces to the rest energy.

두 실험실 사건에서 Delta x = 900 m이고 Delta t = 2 마이크로초이다. 그들의 시공간 간격은 공간 간격(spacelike)이다. 왜냐하면 c Delta t = 600 m이 Delta x보다 작기 때문이다. 이들을 동시인 좌표계를 만드는 조건은 다음과 같다:

*속도 합성은 u가 c보다 낮게 유지됩니다(0.5c와 0.5c는 0.8c를 줌); 길이는 1/γ만큼 수축합니다

동시성 끝점 조건 없이 L=L0/γ를 인용하거나, 상대론적 속도에서 u=u′+v로 속도를 더합니다. 동시성의 차이는 물리적이며 오류가 아닙니다.

시공간 간격(spacetime interval): 명시된 부호 규약 하에서 c²Δt²−Δx²로 정의되는 불변량 조합으로, 이 부호를 통해 사건 간격을 분류한다.

고유 길이: 물체의 정지 좌표계에서 측정된 끝점 간 거리; 다른 모든 좌표계에서는 해당 시간 내에서 양 끝점을 동시에 읽어야 한다.