QM.3 · Exchange symmetry, spin pairs and Pauli exclusion

전체 공간+스핀 상태가 필요한 반대칭성을 갖는다면 두 전자는 하나의 공간 궤도함수를 공유할 수 있다.

선행 학습: 5, 36.

• 정규화된 대칭 및 반대칭 두 궤도함수 공간 상태 구성
• 공간 및 스핀 대칭을 결합하여 허용된 두 전자 상태 생성
• 전체 상태 점유를 세고 교환으로 인한 상관관계를 해석

For identical particles, exchanging every coordinate and spin label changes a fermionic total wavefunction by a minus sign and leaves a bosonic one unchanged. Mathematical slots 1 and 2 label arguments, not permanently distinguishable particles. For two distinct orthonormal orbitals a and b, spatial combinations are Ψ_±=[a(1)b(2)±b(1)a(2)]/√2. Orthogonality makes these combinations normalised and gives exchange eigenvalues ±1. If the two orbitals are identical, the antisymmetric combination is identically zero and the displayed symmetric formula is not correctly normalised; the double-occupation spatial state is simply a(1)a(2). Recheck normalization whenever orbitals or their overlaps change.

두 스핀-1/2 입자는 총 스핀 S=0인 하나의 스핀 싱글렛 (↑↓−↓↑)/√2을 가진다; 이는 교환에 대해 반대칭이다. 세 개의 트리플릿 ↑↑, (↑↓+↓↑)/√2 및 ↓↓는 S=1이고 대칭이다. 전자는 반대칭 전체 상태를 요구하므로 대칭 공간 상태는 싱글렛과 짝을 이루고, 반대칭 공간 상태는 트리플릿과 짝을 이룬다. 같은 공간 궤도함수에 있는 두 전자는 싱글렛을 형성할 수 있으나, 이 단순한 두 전자 상태에서는 트리플릿을 형성할 수 없다. 파울리 배타 원리는 스핀을 포함한 동일한 완전 단일 입자 상태의 점유를 방지한다. 한 궤도함수 내의 반반 스핀 전자는 서로 다른 두 완전 상태입니다; 배타 원리를 '한 궤도함수당 한 전자'로 설명하면 이 차이를 무시하게 됩니다.

For two spatial orbitals a,b and two spin states each, there are four complete single-particle states. Two identical electrons have choose(4,2)=6 occupation patterns: two double-occupation singlets, one different-orbital singlet, and three different-orbital triplets. For three spatial orbitals, there are six complete states and choose(6,2)=15 patterns. Counting ordered assignments overcounts identical particles. Spinless bosons in two orbitals instead have three occupations: both in a, one in each, both in b. These counts assume no additional energy restriction and the stated accessible single-particle states; restricting total energy or spin projection changes the allowed subset.

An antisymmetric spatial state satisfies Ψ_−(x,x)=0, so its joint position density vanishes on the coincidence line. A symmetric spatial state need not vanish there. The difference arises from interference between exchanged amplitudes, even for noninteracting particles; it is not a separately imposed classical repulsive force. For a well of length L, choose a(x)=√(2/L)sin(πx/L), b(x)=√(2/L)sin(2πx/L). At x₁=L/4 and x₂=3L/4, the antisymmetric spatial amplitude is −2/L and its density is 4/L²; the symmetric amplitude is zero. These are joint probability densities per two lengths, not dimensionless probabilities at exact points. Physical spin compatibility still decides which total electronic state uses each spatial combination.

직교 정규된 서로 다른 궤도함수 a와 b에 대해, 대칭 및 반대칭 공간 상태는

두 전자 전체 상태는 위치와 스핀의 동시 교환에 대해 반대칭이어야 한다. 따라서 대칭 공간은 스핀 싱글릿과 쌍을 이루고, 반대칭 공간은 트리플렛 스핀과 쌍을 이룬다. 두 전자가 모두 a에 거주할 경우, 공간 곱은 대칭이므로 스핀 싱글릿만 허용된다. 상이 궤도 정규화 공식을 a = b인 경우에 단순히 재사용할 수 없다.

모든 공간 및 스핀 인수를 교환하라. 반대칭 공간을 반대칭 전체 상태와 혼동하거나, 동일한 두 궤도함수에 대해 서로 다른 궤도함수의 √2 인자를 사용하지 마라.

스핀 싱글렛: 총 스핀 S=0인 반대칭 두-스핀-1/2 상태.

Slater行列式: 완전 단일 입자 상태로부터 constructed된 반대칭 페르미온 구조; 중복된 상태는 이를 소멸시킨다.