TS.5 · Quantum occupations and limits of equipartition

페르미온 에너지 준위는 여러 개의 서로 다른 상태가 있을 때 여러 입자를 포함할 수 있으며, 배타 원리는 완전한 상태마다 적용됨.

선행 지식: 20, 35, 38.

• 페르미온 및 보손에 대한 완전한 양자 상태당 평균 점유율 계산
• 허용된 동일 입자 점유 패턴 세기 및 고전적 희석 극한 식별
• 고전적 이차 모드 열용량을 양자 진동자 반응과 비교

For noninteracting particles in thermal and particle exchange equilibrium, use chemical potential μ and x=(ε−μ)/(kBT). Mean occupation of one complete state is n_F=1/(e^x+1) for fermions and n_B=1/(e^x−1) for bosons. Fermionic occupation of that state is zero or one; its mean lies between them. Bosonic occupation can exceed one. A level of degeneracy g has total mean g times the single-state occupation when its states share the same energy. Count spin as part of a complete state. The Bose denominator requires ε>μ for the ordinary finite expression, with the ground-state limit treated separately. For equilibrium photons μ=0 because photon number is not conserved; do not set μ=0 for every material particle gas.

구별 불가능한 입자에 레이블을 붙이는 대신 점유 패턴을 세어야 함. 네 개의 서로 다른 완전한 상태에 두 개의 동일한 페르미온이 분포할 경우 선택지 choose(4,2)=6개의 허용된 패턴이 있음. 같은 상태에서 두 개의 동일한 보손이 존재할 경우 both may share one state (두 개가 하나의 상태를 공유 가능)이므로, 선택지 choose(4+2−1,2)=10개의 패턴이 있음. 두 개의 레이블이 붙은 구별 가능한 입자의 경우 4²=16개의 할당이 가능함. 이들은 동일한 사양에 대한 세 가지 교체 가능한 답이 아니라 서로 다른 세기 모델임. 만약 질문이 스핀 중첩도를 제공한다면, 먼저 주어진 숫자가 완전한 상태의 개수를 세는지 아니면 오직 궤도 수준만 세는지 결정해야 함. 동일한 완전한 상태에 두 개의 페르미온이 들어갈 수 없다는 파울리 금지 조건은 하나의 공간 궤도에 있는 반전 스핀 페르미온을 금지하지 않음.

When x is large and positive, occupation is small and both denominators are dominated by e^x: n_F≈n_B≈e^(−x), the Maxwell–Boltzmann dilute limit. At x=ln4 the means are 1/5 for fermions, 1/3 for bosons and 1/4 in the classical approximation; the difference is still significant. A large total particle number alone does not justify classical statistics: density, temperature and accessible states control occupation. For fermions at low T, states below μ become nearly occupied and those above nearly empty. At ε=μ a fermionic state has mean one half; inserting that value into the ordinary Bose formula would instead produce a divergent denominator and requires different limiting treatment.

고전 등분정리는 평형 해밀토니안의 각 독립적인 이차 항에 kBT/2의 평균 에너리를 할당함. 단원자 이상 기체는 세 개의 병진 항을 가지므로 U=3NkBT/2 및 C_V=3NkB/2임. 하나의 고전 1차원 조화 진동자는 운동 에너지 및 위치 에너지 항을 가지므로 평균 kBT 및 C=kB임. 고정된 간격 ε=$\hbar$ω를 가진 양자 진동자의 경우, 온도에 의존하지 않는 영점 에너지 이상의 열 에너지는 ε/(e^x−1)이며, 여기서 x=ε/(kBT)이고, C/kB=x²e^x/(e^x−1)²임. 높은 온도에서는 고전값에 접근하고, 낮은 온도에서는 여기가 얼어내져 C→0임. 영점 에너지 ε/2은 U를 이동시키지만 C에는 영향을 주지 않음. 분자 회전/진동 기여분 역시 고전 이차 항을 할당하기 전에 에너지 스케일을 확인해야 함.

점유 번호는 하나의 완전한 단일 입자 상태를 지칭함. $x=(\epsilon-\mu)/(k_BT)=\ln4$에 대해,

고전 희석 근사는 $e^{-x}=1/4$을 줍니다; 이는 여기서 정확하지 않습니다. g중첩 도ords의 평균 총 점유율은 $g\bar n$이므로, 페르미온 준위는 더 많은 입자를 포함할 수 있습니다. 한 입자보다 많지만, 각 완전 상태는 여전히 배타 원리를 따릅니다.

페르미온 두 개를 하나의 완전한 상태로부터가 아닌 전체 비극대성 에너지 레벨로부터 배제하십시오. 어떤 x가 사용되는지 명시하십시오; 화학 퍼텐셜 점유율과 고정된 진동자 들뜸 공식은 다른 모델입니다.

평균 점유: 한 개의 완전한 양자 상태 또는 지정된 상태 그룹에 있는 입자의 앙상블 평균 수입니다.

등분법: 고전 평형 규칙으로, 각 독립적인 이차 해밀토니안 항에 kBT/2을 할당합니다.