EM.5 · RC and RL transients, impedance and resonance

유한한 일반 회로 구동 하에서 콘덴서 전압과 인덕터 전류는 즉시 변화할 수 없으나, 정상 상태 거동은 다릅니다.

필요 지식: 14.

• 주어진 초기 조건으로 RC 충전 및 방전을 풀이하십시오
• RL 전류 응답을 풀고 저장 에너지를 고려하십시오
• 사인파 회로에서의 복소 임피던스, 위상 및 공진 활용

저항 R과 콘덴서 C가 직렬로 연결되고 DC 전원 Vs가 공급된 경우, 키르히호프의 전압 법칙은 R dq/dt + q/C = Vs이다. VC = q/C와 τ = RC로 정의한다. 스위치를 통해 일정한 전원으로 전환된 후, VC(t) = Vs + (VC(0) − Vs)exp(−t/τ)가 된다. 초기에 비충전된 콘덴서의 경우 VC = Vs(1 − exp(−t/τ))이며, 충전 전류 I = (Vs/R)exp(−t/τ)이다. 전원을 제거하고 저항기를 병렬로 연결할 때, VC = VC(0)exp(−t/τ)가 된다. 순간 전류가 없다면 콘덴서 전압은 스위치 전환 시 연속적이며, 저항기 전류는 즉시 변경될 수 있다.

직렬 RL 회로에서 키르히호프의 법칙은 L dI/dt + RI = Vs를 제공하며, τ = L/R이다. 일정한 구동 전류 이후 I(t) = Vs/R + (I(0) − Vs/R)exp(−t/τ)가 된다. 유한한 전압 하에서 인덕터 전류는 연속적이며, 스위칭으로 인한 dI/dt 변화로 인해 전압이 급격히 변할 수 있다. 시간이 지날수록 DC 회로의 이상적인 인덕터는 영전압 연결선 역할을 하며, 이상적인 콘덴서는 영DC 전류를 가진다. 저장된 에너지는 LI²/2 및 CV_C²/2이다. 저항기로 감쇠되는 동안 초기에 저장된 에너지는 소스가 제거되어 사라지는 것이 아니라 저항기 열에너지로 변환된다.

선언된 파사.Position convention exp(iωt)를 사용한다. 저항기의 임피던스는 R, 인덕터는 iωL, 콘덴서는 1/(iωC) = −i/(ωC)이다. 따라서 직렬 RLC 회로의 임피던스는 Z = R + iX이며, X = ωL − 1/(ωC)이다. 전류 구하는 것은 소스 전압 파사.Position을 Z로 나누어 얻는다. RMS 양을 사용할 때 그 크기는 V_rms/sqrt(R²+X²)이다. 임피던스 위상 φ는 tanφ=X/R를 만족하며, X>0일 때 전류는 전압보다 뒤처지고(X<0) 앞선다. 스칼라 크기 R, ωL 및 1/(ωC)를 더하면 벡터 위상 정보가 손실된다.

Series resonance occurs at ω₀=1/sqrt(LC) when X=0. Current is maximal for a fixed voltage in this ideal series model, and the voltage/current phase difference is zero. Mean real power is V_rms I_rms cosφ=I_rms²R; ideal L and C exchange energy but dissipate no average power. This differs from transient natural frequency: a damped series circuit can oscillate at sqrt(1/(LC)−(R/(2L))²) when underdamped. Large resistance removes such free oscillation but does not change the condition X=0 of the ideal driven series impedance. State whether a question asks for a step response, free decay or sinusoidal steady state.

RC 회로가 고정된 소스 전압 Vs로 전환된다. 전하 보존과 키르히호프의 법칙은 다음과 같다,

R = 2 킬옴, C = 1 밀리파라드, Vs = 12 V이고 초기 전압이 제로인 경우, 시간 상수는 최종 상태와의 남은 차이율을 조절한다.

*τ = RC 또는 L/R; 직렬 RLC 회로는 공진 시 가장 큰 전류를Draw한다

RC에서는 τ=RC이고, RL에서는 τ=L/R이다. 전류 진폭을 RMS 전류와 혼동하거나, driven 임피던스의 공명을 damped free-oscillation 진동수와 혼동하지 마라.

시간 상수: 지수 응답 스케일, RC 회로에서는 RC, RL 회로에서는 L/R이다.

임피던스: 사인파 정상 상태에서의 복소 전압-전류 파사.Position 비율이다.