CM.5 · Accelerating and rotating reference frames

회전 플랫폼 위에 서 있는 사람은 플랫폼에 대한 상대 가속도가 0임에도 불구하고 실제 안쪽 방향으로 힘을 받습니다.

선행 지식: 26.

• 이동 및 회전 기준계 항으로 가속도 변환
• 외적에서 원심력, 코리올리스 힘, 오일러 방향 결정
• 겉보기 힘과 실제 상호작용 분리 및 관성계 극한 검증

원점 가속도 A를 가진 평행이동 기준계에서 뉴턴의 법칙은 m a′=F_real−mA가 됩니다. 위쪽으로 가속하는 승강장의 경우, 지면 기준계에서는 N−mg=ma이고, 승강장 기준계의 정지한 승객에 대해서는 N−mg−ma=0입니다. 이는 동일한 예측입니다. 추가된 항은 선택한 가속 좌표계로 인한 보기 힘이며, 다른 물체와의 새로운 접촉력이 아닙니다. A=0인 균일 평행이동은 속도를 변화시키지만 겉보기 힘은 필요하지 않습니다.

회전 기준계를 사용할 때 벡터를 미분하면 Ω×이 해당 벡터에 더해집니다. 이를 두 번 적용하면 a=a_origin+a′+2Ω×v′+Ω×(Ω×r)+Ωdot×r가 됩니다. 여기서 r과 v′는 회전하는 원점의 회전 축을 기준으로 측정된 값이며, 계산에 사용되는 모든 벡터는 같은 순간에 동일한 기준계로 표현되어야 합니다. 마지막 세 개의 회전 항을 힘 쪽으로 이동시키면 코리올리 힘 −2mΩ×v′, 원심력 −mΩ×(Ω×r), 오일러 힘 −mΩdot×r를 얻습니다. 일정한 회전에서는 오일러 항만 사라지고 코리올리 항은 남습니다.

Ω를 +z 방향으로, 위에서 봤을 때 반시계 회전 플랫폼을 고려하고 입자를 +x 방향의 r에 위치시킨다고 합시다. 원심력은 +x 방향으로 크기가 mΩ²r입니다. 만약 입자가 outward으로 v′=+x 방향으로 움직인다면, Ω×v′는 +y가 되어 코리올리 힘은 −y 방향을 향합니다. 상대 속도를 반대로 하면 코리올리 힘도 반대가 되며, v′=0일 때는 소멸합니다. 코리올리 힘은 v′에 수직이며 상대 운동에 즉각적인 일을 하지 않습니다. 원심력은 회전축에서 바깥쪽을 향하지만, 임의의 3차원 위치에서 선택한 원점에서 바깥쪽으로 향할 필요는 없습니다.

A body at rest on the platform has a′=v′=0. With constant rotation and a fixed origin, its real force must be mΩ×(Ω×r), inward, cancelling the outward apparent term in the rotating equation. If rotation changes, a tangential real force must also balance the Euler term. Always check Ω→0 and A→0: ordinary inertial Newtonian motion must return. Do not mix the real inward centripetal requirement with an added outward real reaction on the same body; interaction partners belong in separate free-body diagrams.

회전 좌표계에서 코리올리 힘은 상대 속도를 사용합니다.

m = 2 kg, Omega = 2 rad/s (z 방향), r = 1 m (x 방향), v' = 3 m/s (x 방향)일 때, 오일러 힘이 0인 이유는 오직 Omega가 일정하기 때문입니다. 이들은 좌표 항이지 추가된 물리적 접촉력이 아닙니다.

상대 속도 v′는 코리올리 항에 포함되어야 합니다. 전체 관성 속도를 사용하면 회전을 두 번 카운트하게 됩니다.

코리올리 힘: 상대 운동에 의해 발생하는 가상의 회전 좌표계 힘 −2mΩ×v′입니다.

원심력: 회전축에서 바깥쪽으로 향하는 가상의 회전 좌표계 힘 −mΩ×(Ω×r)입니다.