CM.4 · Constraints, variational equations and cyclic coordinates

진자의 장력은 진동 중 변화하지만, 장력을 구하지 않고도 각 운동 방정식을 유도할 수 있습니다.

선행 지식: 1, 47.

• 호노노믹 제약 조건을 imposed 후 오일러-라그랑주 운동을 유도하십시오.
• 순환 좌표를 사용하여 보존되는 정준 운동량을 식별하십시오.
• 안정 평형점을 선형화하고 유도된 주파수를 확인하십시오.

제약 조건은 운동 에너지를 형성하기 전에 독립 좌표를 하나 제거합니다. 고정 길이의 진자에 대해서는 아래쪽 수직선으로부터 θ를 선택하십시오: x=l sinθ, y=−l cosθ. 두 좌표를 미분하면 v²=l²θdot²가 되며, l² sin²θ θdot²가 아닙니다. 따라서 T=ml²θdot²/2이고 V=mgl(1−cosθ)이며, 하단에서 Potential energy를 0으로 설정했습니다. 고정된 길이는 좌표 간, 혹은 좌표와 시간 간의 관계인 호노노믹 제약 조건입니다. 굴러가는 속도 제약 조건은 자체적인 분석이 필요하므로 모든 제약 조건을 자동으로 좌표 치환으로 취급해서는 안 됩니다.

이상적 구속 조건과 일반적인 보존계에서 정적 작용 방정식은 d/dt(∂L/∂qdot)−∂L/∂q=0이며 L=T−V이다. 두 시간 경계에서의 변분은 소멸한다. 진자에서 ∂L/∂θdot=ml²θdot 및 ∂L/∂θ=−mgl sinθ이므로 ml²θddot+mgl sinθ=0이다. 운동량의 미분은 모든 시간에 의존하는 인자에 작용하므로, 변하는 반지름의 경우 d(mr²θdot)/dt에는 2mr rdot θdot 항이 포함된다. 변분법이 시간 의존계에서 기계적 에너지 보존을 의미하지는 않는다.

평면 중심 운동에 대해, L=m(rdot²+r²θdot²)/2−V(r)입니다. 각도 θ는 L이 θ에 대한 명시적 종속성이 없기 때문에 순환 좌표입니다. (물론 L은 θdot에 의존합니다.) 그 정준 운동량 pθ=mr²θdot은 일정합니다. 반경 운동 방정식은 m rddot=mrθdot²−dV/dr입니다. 첫 번째 항은 좌표 가속도의 일부이지, 관성 좌표계에서의 새로운 외향 실력force가 아닙니다. pθ의 보존은 r이 감소할수록 각속도가 증가함을 의미하며, 이는 외부 구동에 의해 유지되는 다른 상황입니다.

안정 평형점 q0 근처에서 V를 2차까지 전개하고 상수 국소 관성 M을 적용하면, V≈V(q0)+V″(q0)(q−q0)²/2가 됩니다. 이때 작은 변위의 진동수는 sqrt(V″/M)입니다. 단진자에서는 라디안 단위로 sinθ≈θ이므로 ω=sqrt(g/l)이며, 이 근사는 작은 진폭일 때만 유효합니다. V″가 음수이면 불안정성이 발생하며, 허수인 측정 가능한 진동수를 가진 진동이 아닙니다. 먼저 완전 비선형 방정식을 확인한 후 근사식을 제시하고 차원을 비교하십시오: V″/M은 시간의 제곱 역수 차원이어야 합니다.

고정된 단진자 길이 l에 대해 아래쪽 수직선을 기준으로 한 각도 theta를 사용하면, x = l sin theta, y = -l cos theta가 됩니다. 카테시안 속도는 모두 $T=ml^2\dot\theta^2/2$과 $V=mgl(1-\cos\theta)$을 줍니다. 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같습니다:

순환 좌표는 L 자체에 존재하지 않으나, 그 속도가 반드시 없어야 하는 것은 아닙니다. 변하는 r² 인자의 시간 미분을 버려서는 안 됩니다.

화학적 구속: 좌표와 시간 간의 관계로 서술된 구속 조건이다.

순환 좌표: L 자체에 포함되어 있지 않아 그 정밀 운동량이 보존된다.