QM.1 · Scattering, degeneracy and Pauli operators

A quantum wave can reflect from a downward potential step even though a classical particle has no turning point there.

선행 지식: 5.

• Match travelling waves and fluxes across finite potential changes
• 비등위 등방 진동자 상태를 세기
• 파울리 연산자의 곱을 평가하고 반교환성과 동등성을 구분

For constant potential V and energy E>V, the spatial solutions are travelling factors exp(±ikx), with k=sqrt[2m(E−V)]/$\hbar$. At finite steps with the same particle mass, wavefunction and its first derivative are continuous. In a left-incident scattering problem with no incoming beam from the right, the far-right solution contains only the right-travelling factor Ae^(ikx). If a finite well returns to the original external potential, the transmitted external wave number equals the incident one, even though the interior wave number differs. Exponentially decaying solutions describe E<V regions, not every potential well.

V1에서 V2로의 단계에서 두 영역이 모두 고전적으로 허용될 때, 영역 1의 입사+반사 진폭과 영역 2의 투과 진폭을 쓰십시오. 연속성은 r=(k1−k2)/(k1+k2) 및 t=2k1/(k1+k2)를 줍니다. 반사 확률은 R=|r|²이며, 투과는 T=(k2/k1)|t|²입니다. 확률 밀도가 파동수에 의존하기 때문입니다. 따라서 손실 없는 단계에 대해 R+T=1입니다. 전류 인자 없이 순수 사제 투과 진폭을 R에 더하지 마십시오. k2=3k1일 때, 아래향 단계임에도 불구하고 R=1/4이고 T=3/4입니다.

3차원 등방 진동자는 음이 아닌 정수 n_x, n_y, n_z를 갖는 x, y, z 모드로 분리됩니다. 에너지는 (N+3/2)$\hbar$ω이며, 여기서 N=n_x+n_y+n_z입니다. 스핀-0 구별 가능한 단일 입자의 경우 공간 비간섭도는 이러한 삼중의 개수인 (N+1)(N+2)/2로 주어집니다. 이는 단순한 순서 없는 분할이 아니라 서로 다른 할당 수를 세는 것입니다. N=2일 때 여섯 가지 상태는 (2,0,0)과 (1,1,0)의 모든 순열입니다. N=3일 때 비간섭도는 10입니다. 추가적인 스핀 또는 동일 입자 제약 조건은 세기 문제를 변경할 수 있습니다.

폴리 행렬은 σ_x=[[0,1],[1,0]], σ_y=[[0,−i],[i,0]], σ_z=[[1,0],[0,−1]]입니다. 각 행렬의 제곱은 단위행렬이 됩니다. 직접 곱하기에 따라 σ_xσ_y=iσ_z이고 σ_yσ_x=−iσ_z이므로 서로 다른 폴리 행렬은 반가환합니다. 순환적 곱 x→y→z는 양의 i를 가지며, 역순으로 하면 부호가 바뀝니다. 일반 항등식은 σ_iσ_j=δ_ijI+iΣε_ijkσ_k입니다. 행렬의 순서가 중요합니다: σ_xσ_z=−iσ_y이지 iσ_y나 단순히 σ_y가 아닙니다. 이러한 무차원 행렬들은 물리적 단위와 인자를 더하는 S_i=$\hbar$σ_i/2 스핀 연산자가 됩니다.

유한 전위 계단에서 입자의 질량이 동일할 때 파동함수와 미분계수를 연결해야 합니다.

전송 확률은 진폭 alone가 아닌 전류를 사용하여 계산합니다. $k_2=3k_1$, $r=-1/2$, $t=1/2$에 대해. 하향 전위 계단에서도 반사가 발생합니다. 확률을 취할 때 위상 부호는 사라집니다.

투과 확률은 파수류비율을 필요로 한다. 진동자 축복도는 순서 있는 모드 삼중조를 세는 것이다. 부호를 바꾸지 않고 파울리 행렬의 순서를 뒤집지 말라.

반사 계수: 입사 전류에 대한 반사된 확률-전류 비율.

비간섭도: 지정된 에너지를 공유하는 독립적인 상태의 수.