RA.1 · Relativistic lifetime, energy and Doppler shift

빠르게 이동하는 불안정한 입자는 실험실 기준에서 정지 좌표계 수명에 속도를 곱한 값보다 더 멀리 이동할 수 있습니다.

선행 지식: 6, 42.

• 유효 수명을 실험실 시간 및 거리와 연결하기
• 불변 에너지-운동량 및 상대론적 운동 에너지를 활용하기
• 파장 비를 통해 종방향 후퇴 속도를 추론하기

상대속도 v에 대해 β=v/c 및 γ=1/sqrt(1−β²)로 정의합니다. 고유 시간은 입자의 세계선 상에서 입자와 정지한 시계로 측정됩니다. 고유 평균 수명이 τ0이라면, 실험실 평균 수명은 γτ0이며 일정 속도에서의 평균 이동 거리는 vγτ0입니다. 붕괴는 통계적 현상이므로 평균 수명은 각 입자에 대한 보장된 붕괴 시간이 아닙니다. β=0.8일 때, γ=5/3입니다. 시공간 사건은 한 좌표계 내에서 일관되게 계산해야 하며, 고유 시간과 좌표 시간은 서로 다른 양입니다.

총 에너지는 E=γmc², 운동량은 p=γmv이며 불변량 E²−p²c²=m²c⁴입니다. E와 pc가 동일한 에너지 단위로 표현될 때, mc²=sqrt(E²−(pc)²)를 구하며, 이는 E−pc가 아닙니다. 양의 정지 질량을 위해 비음의 제곱근이 필요합니다. E=13 GeV이고 pc=12 GeV일 때, 정지 에너지는 5 GeV이고 질량은 5 GeV/c²입니다. 질량이 없는 입자는 E=pc이지만 반드시 에너지나 운동량이 영이어야 하는 것은 아닙니다. 이러한 관계는 상대론적 속도의 고전적인 mv가 아닌 단일 입자의 네 가지 운동량과 관련됩니다.

정지 상태에서 입자를 가속하는 데 필요한 일은 운동 에너지 K=E−mc²=(γ−1)mc²과 같다. β=0.6일 때, γ=1.25이며 K=0.25mc²이다. 반면 고전 역학의 ½mv²은 0.18mc²을 산출한다. 고전 역학적 운동 에너지는 저속 근사식이며, 빛의 속도 c에 가까워지면 부정확해진다. 유한한 가속 일은 입자가 빛의 속도에 도달하거나 초과할 수 있도록 허용하는 것이 아니라, 오직 γ만 증가시킨다. 답의 단위를 해석할 때는 총 에너지, 정지 에너지, 운동 에너지를 명확히 구분해야 한다.

특수 상대성 이론의 순수한 종방향 상대적 후퇴에 대해, 파장 비율 r=λ_관측/λ_방출=sqrt((1+β)/(1−β))입니다. 이를 변형하면 β=(r²−1)/(r²+1)가 됩니다. 비율 r=2일 때 β=3/5이 되며, 저속 근사식 c×(r−1)과 다릅니다. 이 관례에서 블루시프트는 r<1이며 음의 후퇴 매개변수를 가집니다. 이 공식은 시프트가 완전히 운동학적이라고 가정합니다. 우주론적 팽창이나 중력적 적색편이는 다른 모델을 필요로 합니다. 스펙트럼 비율을 해석하기 전에 문제에서 명시한 모델을 먼저 제시하십시오.

총 에너지와 운동량은 불변 정지 에너지를 결정한다.

*고전역학 ½mv²은 높은 속도에서 운동 에너지를 과소평가하며, 파장 비 2은 0.6c에 해당합니다

고유 수명을 실험실 시간으로 사용하지 말고, 정지 질량을 구하기 위해 E에서 pc를 빼거나 큰 파장 비율에 고전 도플러 근사를 적용하지 마십시오.

유효 시간 (proper time): 물체의 세계선을 따라 움직이는 시계에 의해 기록된 시간.

정지 에너지 (rest energy): 물체의 정지 질량과 관련된 에너지 mc².