LM.1 · Counting statistics, uncertainty and dimensional models

A detector with ten percent efficiency does not register exactly ten photons out of every hundred. The count fluctuates even with stable efficiency.

선행지식: 47.

• 이항 분포와 포아송 분포의 세기 평균 및 변동을 사용함
• 명시된 상관 관계 가정 하에 작은 불확도를 전파함
• 차원 지수 제약 조건을 풀고 모델의 단위를 검증함

N개의 독립 입자가 각각 확률 p로 검출될 때, 세기 X는 이항 분포를 따릅니다: 평균은 Np이고 분산은 Np(1−p)입니다. 표준편차는 분산 그 자체가 아닌 sqrt[Np(1−p)]입니다. N이 크고 p가 작을 때 포아송 근사는 평균 λ=Np와 분산 λ를 가지므로 편차는 sqrt(λ)입니다. N=200이고 p=0.05일 때 정확한 평균은 10이며 편차는 sqrt(9.5)≈3.08입니다. 반면 포아송 근사는 sqrt(10)≈3.16를 줍니다. 어느 모델도 고정된 세기를 보장하지 않습니다. 상관관계 있는 검출이나 데드 타임은 독립성을 무효화할 수 있습니다.

매끄럽게 측정된 함수 y(x1,…, )에서 변화량을 편미분을 이용해 선형화합니다. 독립적인 작은 표준 불확도는 제곱합으로 결합됩니다: σ_y²≈Σ(∂y/∂xi)²σ_i². 상관관계 있는 입력변수는 공분산 교차 항을 포함해야 합니다. y=x^a인 경우, 상대 표준 불확도는 약 |a|σ_x/|x|입니다. 따라서 질량 불확도가 무시 가능한 운동 에너지 K=½mv²의 상대 불확도는 속도의 두 배입니다. 독립적인 질량 불확도를 포함하면 (σ_m/m)²+(2σ_v/v)²를 결합합니다. 이러한 근사값은 오차가 작고 적절한 국소 선형 모델이 필요함을 전제로 합니다.

무작위 산란은 정밀도를 나타내며, 일반적인 보정 편향은 정확도에 영향을 미치며 반복 측정의 평균을 취해도 사라지지 않습니다. 독립적인 반복 읽음에 대해 평균의 표준 불확도는 1/sqrt(n)으로 감소하지만, 공유되는 체계적 오차는 그렇지 않습니다. 물리적 산란의 불확도와 그 추정 평균의 불확도는 서로 다른 양입니다. 인용된 백분율이 표준 불확도인지, 신뢰 구간인지, 최악의 경우 상한선인지 명시하십시오. 절대값을 더하는 것은 보편적인 상한선이 될 뿐이며, 독립 표준오차의 제곱합 규칙이 아닙니다.

차원 분석은 수치적 크기가 아니라 질량, 길이, 시간의 지수를 동일시합니다. 플랑크 길이 형태 G^a $\hbar$^b c^d의 차원은 [G]=L³/(MT²), [$\hbar$]=ML²/T, [c]=L/T입니다. 길이를 요구하면 −a+b=0, 3a+2b+d=1, −2a−b−d=0가 됩니다. 따라서 a=b=1/2이고 d=−3/2이므로 길이는 sqrt(G$\hbar$/c³)입니다. 차원 분석은 임의의 무차원 계수를 결정하거나 선택한 상수가 물리적으로 충분함을 증명할 수 없습니다. 숫자를 삽입하기 전에 단위가 잘못된 식은 거부하십시오.

$K=mv^2/2$에 대한 독립적이고 작은 표준 불확도가 있을 때는 먼저 미분하십시오.

평균 개수를 보장된 개수와 혼동하거나, 분산을 표준편차와 혼동하거나, 랜덤 표준 오차를 교정 편향(bias)과 혼동하지 마십시오. 차원적 일관성은 필수적이지만 충분조건은 아닙니다.

표준 불확도: 명시된 측정 모델 하에서 표준편차로 표현된 불확도.

포아송 근사: 분산이 평균과 동일한 드문 독립 사건 세기 모델.