TS.2 · Speed distributions and statistical ensembles

기체는 평균 속도가 0일 수 있지만 입자들은 상당한 평균 속도를 가질 수 있습니다. 벡터 평균에서는 반대 방향이 상쇄되지만, 속도는 부호가 없습니다.

선행 지식: 4, 35.

• 연속 속도 밀도를 정규화하고 그 단위를 해석함
• 벡터 평균, 속도 평균 및 가장 빈번한 속도(모)를 구별함
• 볼츠만 가중치에 축퇴도 및 partition function을 사용하여 계산함

For a continuous speed probability density f(v), f(v)dv approximates probability in a narrow interval and ∫from 0to∞ f(v)dv=1. The density has inverse-speed units and is not itself a probability. If P(v)dv counts particles in that interval, its area is the particle count N and f=P/N. A trapezoid rising over width v0, remaining flat over width 2v0, then falling over width v0 has area 3av0 for height a. Normalise by area before computing a mean or interpreting a plotted height.

In an isotropic equilibrium gas without bulk flow, each velocity-component distribution is symmetric, so ⟨v_vector⟩=0. Speed v=|v_vector| is nonnegative and has positive mean. For a classical ideal gas, the Maxwell speed density is proportional to v²exp[−mv²/(2kBT)]. Its mode is sqrt(2kBT/m), its mean is sqrt(8kBT/(πm)) and its rms speed is sqrt(3kBT/m). These are three different quantities. The v² factor makes speed density zero at v=0, even though the velocity-vector density is largest at the zero vector.

연속 분포에서 특정 속도 하나의 정확할 확률은 0이며, 비영 확률은 구간을 가리킵니다. 이 명제는 임의로 작은 속도를 가진 입자가 없음을 의미하지 않으며, 유한 해상도의 검출기가 0 빈을 기록하지 못함을 의미하지도 않습니다. 온도는 맥스웰 분포의 스케일을 변화시키는데, 특징 속도는 sqrt(T/m)에 비례합니다. 온도를 두 배로 해도 속도가 두 배가 되지 않으며, 같은 온도에서 무거운 입자가 평균적으로 더 느립니다.

In a canonical ensemble at temperature T, a state of energy E_i has weight exp(−E_i/(kBT)). Divide by partition function Z=Σexp(−E_i/(kBT)) to obtain probabilities. If an energy level has degeneracy g_i, its level probability is g_i exp(−E_i/(kBT))/Z. Equal energy per state does not imply equal probability per level when degeneracies differ. For a ground level of degeneracy 1 and an excited level of degeneracy 2 at Δ=kBT ln2, the excited total weight is 2e^(−ln2)=1: the two levels each have probability 1/2. Classical Maxwell–Boltzmann assumptions differ from Bose–Einstein and Fermi–Dirac quantum occupations.

정준 앙상블은 바닥 축퇴도 1와-gap Delta인 여기 축퇴도 g를 가집니다.

밀도 높이는 확률이 아니다. 평균 속도, 평균 속력 및 최빈값(mode)은 다르며, 준위 확률을 정규화(normalise)하기 전에 준거를 포함해야 한다.

확률 밀도: 연속 변수의 단위당 확률로, 적분값은 구간의 확률을 줍니다.

분할 함수: 평형 상태 확률을 정규화하기 위해 사용되는 통계적 가중치의 합.