WO.3 · Fourier symmetry and wave superposition

파형은 모든 사인 항이 없어도 여러 조화 성분을 포함할 수 있습니다. 대칭성을 통해 적분 전에 어떤 계수가 소멸하는지 알 수 있습니다.

전제 지식: 3, 47.

• 직교성을 사용하여 푸리에 계수 식별
• 상수 항을 버리지 않고 짝/홀 대칭 활용
• 성분 진폭을 간섭 및 물리적 파형과 연결

충분히 규칙적인 실수 2주기(st-periodic) 함수 f(x)를 다음과 같이 쓰라: f(x)=a0/2+Σ[a_n cos(nx)+b_n sin(nx)]. 계수는 a_n=(1/π)∫from−πtoπ f(x)cos(nx)dx 및 b_n=(1/π)∫from−πtoπ f(x)sin(nx)dx이며, a0는 n=0을 사용하여 구한다. 한 주기에 걸쳐 코사인(sine)과 사인(cosine)은 직교(orthogonal)한다. 평균(mean)은 a0/2이며, a0가 아니다. 한 계열의 비영주파(nonzero-frequency) 계수가 모두 소멸하더라도 상수 항(constant term)을 유지하라.

f가 선택한 원점에 대해 짝함수이면 f(x)sin(nx)는 홀함수이며 대칭적 적분은 0이므로 모든 b_n이 소멸합니다. f가 홀함수이면 평균과 모든 a_n이 소실됩니다. 대칭성은 원점에 의존하므로, 동일한 물리적 신호를 이동시키면Scaling 코사인 및 사인 계수를 섞어조리지만 조화 주파수는 동일하게 유지됩니다. x=0에 대해 대칭인 음이 아닌 삼각형 파형은 코사인 조화 성분과 영이 아닌 평균을 가지되Scaling 사인 조화 성분이 전혀 없을 수 있습니다.

[−π, π] 구간에서 f(x)=|x|의 2주기 확장(st-periodic extension)의 평균은 π/2이다. [0, π]에서 x cos(nx)를 부분적분(part integration)하면 a_n=2[(-1)^n−1]/(πn²)이 되어, 짝수 n의 코사인 계수는 0이고 홀수 n의 계수는 −4/(πn²)이다. 모든 사인 계수는 0이다. 1/n² 감쇠(decy)는 연속 함수이지만 기울기 불연속성(slope discontinuity)이 있음을 나타낸다. 점프 불연속(jump discontinuity)은 일반적으로 더 느린 계수 감쇠와 부분합 과Shoot(overshoot)을 초래하므로 모든 파형(waveform)에 대해 동일한 수렴(convergence) 성질을 유추하지 말라.

A Fourier sum adds amplitudes with their phases. For equal coherent monochromatic amplitudes A meeting with phase difference φ, resultant squared amplitude is 2A²(1+cosφ), so intensity is 2I0(1+cosφ). It is 4I0 in phase and zero at φ=π. Incoherent averaging removes the cross term, yielding 2I0. Harmonics at different frequencies can construct a shape over time; their instantaneous sum is not the sum of their individual intensities. Identify whether the question concerns a waveform, time-average power or coherent interference.

실수 주기 함수의 경우, $f=a_0/2+\sum(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$을 사용하십시오. 우대칭은 피적분 함수가 홀함수이므로 모든 사인 계수를 0으로 만듭니다. $f(x)=|x|$에 대해 $[-\pi,\pi]$에서,

부분적분을 통해 두 번째 식을 얻습니다. 평균값은 $a_0/2=\pi/2$입니다; 홀수 차 수의 코사인 조화 성분만 남습니다. 톱니 모양(스피그)이 상수 항을 생략할 근거가 되지는 않습니다.

우대칭성은 사인 계수를 제거하지만, 상수항이나 모든 코사인 하모닉을 제거하지는 않습니다. 대칭성의 원점 확인 및 강도를 합산하기 전에 파동들의 coherence 여부를 체크해야 합니다.

직교성: 지정된 구간에 대한 서로 다른 기저 함수의 곱의 적분값이 0인 것.

푸리에 계수: 주기적 전개에서 사인, 코사인 또는 상수 기저 성분의 가중치.