CM.2 · Rotation, buoyancy and terminal-speed balances

떠 있는 블록을 뒤집으면 총 무게는 동일하지만 침수되는 나무의 양이 달라질 수 있다.

선행 지식: 10.

• 지지점 토크와 회전 관성을 일관되게 사용함
• 무슬립 조건으로 회전 운동 에너지를 분할함
• 복합 물체의 부력과 항력을 균형시킴

고정 축에 대한 토크는 r×F이며, 그 크기는 수직 레버암을 사용한다. 한 끝이 고정된 균일 막대 L에 대해 중력은 중심 L/2에서 작용하고 관성 모멘트는 ML²/3이다. 각 θ가 수직선으로부터 측정될 때 중력 토크의 크기는 Mg(L/2)sinθ이므로 각가속도의 크기는 3g sinθ/(2L)이다. 부호를 부여하기 전에 회전 방향을 정의해야 한다. 평행축 보정 없이 중심의 질량 관성 ML²/12을 사용하면 잘못된 가속도를 얻게 된다.

미끄러짐 없는 굴림 운동은 v=Rω를 만족한다. 총 운동 에너지를 ½Mv²+½Iω²로 나타낸다. I=βMR²일 때 회전 분율은 β/(1+β)이며, 실심 원판의 경우 β=1/2이고 분율은 1/3이다. 후프(hoop)의 경우 β=1이고 분율은 1/2이다. 정지마찰력은 고체 표면 위의 순간적으로 정지하는 접촉점에서 에너지를 소실하지 않고 미끄러짐 없는 굴림에 필요한 토크를 공급할 수 있다. 미끄러지는 물체는 미끄러짐 조건을 자동으로 만족하지 않는다.

For a floating composite, buoyancy equals the weight of displaced fluid, summed over every submerged part. Let a wood block have volume V and a dense stone volume Vs. If the stone is above the water, only submerged wood contributes: ρwater g fV equals total weight. If the stone is attached below and fully submerged, its displaced volume reduces the wood’s required submerged fraction to f−Vs/V. The stone does not cease to weigh anything; the water now supplies some of its support. Check whether the assumed orientation and flotation are physically possible.

종속 속도는 제로 속도 또는 제로 힘의 상태가 아닌 제로 가속도를 의미한다. 이차 항력 C v²와 하향 중력 Mg가 있고, 부력을 무시하면 vt=sqrt(Mg/C)이다. 다른 모든 점이 동일한 두 공은 항력 계수 C를 공유하므로, 질량을 두 배로 하면 종속 속도는 sqrt(2)배가 된다. 부력이 중요하면, Mg를 (M−ρfluid V)g로 교체하라. 선형 항력 모델은 다른 질량 비례를 준다. 명시된 항력 법칙을 stated하고, 모델 간에 공식 이전을 하지 말고 힘의 균형을 비교하라.

물체는 고정된 표면 위에서 무슬립 회전한다. 무슬립 조건은 v = R omega이다.

실디스크의 경우, beta = 1/2이므로, 회전 share는 한쪽 끝에서 지지된 균일 막대에 대해서는 중심관성이 아닌 $I=ML^2/3$을 사용하라. 해당 지지점에 대해 $\tau=-Mg(L/2)\sin\theta$, 수직선 하향으로부터 theta를 측정할 때.

*굴림 운동은 I/(mr²)에 의해 에너지를 공유하며, 이차 저항은 종단 속도가 ∝ √m임을 의미함

선택한 축에 대한 관성모멘트를 사용하라. 떠 있는 상황에서는 돌의 배출 부피와 무게를 모두 포함한다. 종단 속도는 명시된 드래그 법칙이 필요하다.

관성 모멘트: 특정 회전축으로부터의 수직 거리의 제곱에 질량을 곱한 값.

종단 속도: 반대 방향의 힘들이 평형을 이루는 일정한 속도.