GAC024 이산 수학

중복된 집합 원소는 한 번만 세며, 이_Handle(Carry)가 고정된 너비를 초과할 수 있고, 가장 많은 가장자리 수가 없는 경로가 최소 가중치를 갖지 않을 수도 있습니다. 이산 수학은 이러한 규칙을 명시합니다.

GAC024은 집합, 세기 체계, 이_Handle 논리, 알고리즘 및 네트워크를 다룹니다. 귀하의 센터 현재 범위가 평가 과제, 도구, 가중치 및 마감일을 결정합니다. 이러한 원본 연습 시트는 공식 채점 기준이나 대학 학점 판정을 설정하지 않습니다.

State the universe, representation width, allowed inputs or graph assumptions before solving. Show enough working for another reader to reproduce the result and distinguish a mathematical model from its real implementation.

• 집합(Set) 은 서로 다른 물체들의 모음입니다. 순서와 중복은 중요하지 않습니다.
• 합집합 Union $A \cup B$은 두 집합 중 어느 것에나 포함된 모든 요소입니다; 교집합 Intersection $A \cap B$는 두 집합 모두에 포함된 요소입니다. 모두 해당; 집합의 보집합은 명시된 전체 집합에 포함되지만 주어진 집합 밖의 모든 요소를 말합니다.
• 부분집합은 모든 원소가 다른 집합 내부에 있는 집합입니다.
• 관계는 두 집합의 원소를 쌍으로 연결합니다. 함수는 각 입력이 주어진 정의역에서 오직 하나의 출력만 가지는 관계입니다. 서로 다른 입력은 같은 출력을 공유할 수 있으며, 역관계가 함수가 되려면 출력이 입력을 유일하게 식별해야 합니다.
• 벤 다이어그램은 집합 문제를 시각화하여 불교차 영역과 그 개수를 나타낼 수 있습니다. 해당 영역들의 합이 제공된 전체 집합의 총량과 일치하는지 확인하십시오.

포함-배제 원리는 두 번 세어진 겹치는 부분을 한 번 빼서 $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$을 계산합니다.

풀이 예시. 겹치는 부분을 단 한 번만 빼십시오.

주어진 정보: 학습자 30명, 프랑스어 18명, 독일어 15명, 양과목 7명. 겹치는 부분은 두 과목의 총계 모두에 포함되어 있습니다.

프랑스어 전은 $18-7=11$이고 독일어 전은 $15-7=8$입니다. 네 개의 불교차 영역의 합은 30입니다.

연습지 4.1에는 난이도가 점진적으로 높아지는 문제와 독립적으로 검증된 해답이 포함되어 있습니다.

• A positional number base b uses digits from zero to b minus one and place weights $b^i$. Decimal uses ten, binary 두, 십육진법.
• 각 숫자의 값은 그 자리값입니다. 이_Handle에서는 자리가 1, 2, 4, 8, 16 등등입니다.
• Hexadecimal는 이진법의 약어입니다: 하나의 HEX 자릿수는 정확히 네 비트에 해당하므로, 변환 시 지정된 너비의 이진 패턴을 네 비트 단위로 묶을 수 있습니다. 선두의 영은 부호 없는 값은 변경하지 않으면서 너비를 유지합니다.

n개의 부호 없는 비트에 대해 값은 0부터 $2^n-1$까지입니다. 무제한 합산과 저장된 고정 너비의 결과 차이를 구분하십시오. 명시된 경우에만 적용되는 포위 규칙은 낮은 n비트를 유지합니다.

Worked example. place weights determine the decimal value

알려진 수 $1101_2$. 오른쪽에서 왼쪽으로 무게를 사용하십시오: 1, 2, 4, 8.

같은 값은 HEX로 D입니다. 선두의 영은 이 음수가 아닌 값을 변경하지 않지만 의도한 너비를 기록할 수 있습니다.

연습지 4.2에는 난이도가 점진적으로 높아지는 문제와 독립적으로 검증된 해답이 포함되어 있습니다.

• 이_Handle 연산은 진법과 마찬가지로 더하지만, 2에서carry를 발생시키고 10에서는 발생시키지 않습니다.
• bit(비트) 는 이_Handle 숫자 하나이며, byte(바이트) 는 여덟개입니다.
• 부울 대수는 AND, OR, NOT를 사용하여 참과 거짓을 다룹니다.
• 진리표는 모든 부울 입력 조합과 출력을 나열합니다. 동일한 유한 부울 입력에 대해 모든 행을 매칭하면 동등성을 증명하지만, 물리적 회로의 타이밍이나 실제 시스템의 보안을 증명하지는 않습니다.
• 논리 게이트는 지정한 연산을 구현하고, 논리 회로는 이를 연결합니다. 연결 구조와 입력 규약에 따라 추상적 논리를 추적하십시오.

포함 OR와 명확한 괄호를 사용하십시오. 드 모르간 법칙은 $\neg(A\land B)=(\neg A)\lor(\neg B)$을 제공합니다. 비트-wise NOT는 지정된 너비만을 반전시키며, 비구상적인 무한 표현을 반전시키지 않습니다.

풀이 예시. OR 출력은 NOT에 의해 반전됨

주어진 정보: $Y=\neg(A\lor B)$. 포함 OR는 두 입력이 모두 거짓일 때만 거짓이며; NOT는 그 결과를 반전합니다. 행 순서대로 $(A,B)=(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)$, 출력 열은 1, 0, 0, 0입니다. 드 모르간 법칙은 등가 식 $(\neg A)\land(\neg B)$을 제공합니다.

연습지 4.3에는 난이도가 점진적으로 높아지는 문제와 독립적으로 검증된 해답이 포함되어 있습니다.

• 알고리즘은 작업에 대한 모호하지 않은 단계를 설명합니다. 지정된 유한 작업을 해결하는 절차는 허용된 입력에 대해 종료되어야 하며 필요한 결과를 제공해야 합니다.
• 플로우차트는 이를 도식화합니다: 분기는 마름모, 과정은 직사각형입니다.
• 가상 코드는 특정 구현 언어를 요구하지 않고 단계를 나타냅니다. 추적 전에 할당, 루프 범위 및 인덱스 규약을 명시하십시오.
• 알고리즘 추적 — 변수마다 한 열, 단계마다 한 행이 있는 표 —은 실제 업데이트를 기록합니다. 추적은 선택된 입력을 확인하며, 모든 허용된 입력에 대한 주장은 correctness 논증도 필요합니다.
• Efficiency matters: a linear search can stop early but may inspect all n items. Binary search repeatedly discards half of an ordered search range; its logarithmic comparison count requires the sorted-data and bound conventions.

풀이 예시. 두 번째 수가 0이 될 때까지 나머지를 반복 계산함

Known: start with positive integers a equal to 10 and b equal to 6. While b is nonzero, compute r as a MOD b, then set a to b and b to r. Pairs after complete iterations are (6,4), (4,2), (2,0), giving output 2. Temporary r preserves the remainder before a and b change. Each nonzero remainder is smaller than the previous positive b, supporting termination.

연습지 4.4에는 난이도가 점진적으로 높아지는 문제와 독립적으로 검증된 해답이 포함되어 있습니다.

• 그래프는 정점들의 집합으로 변연에 의해 연결됩니다. 이는 어떤 것이나 모델링할 수 있습니다. 연결: 도로, 우정, 의존성.
• 루프나 중복 변연이 없는 단순 무방향 그래프에서 차수는 인접한 변연의 개수를 세는 것입니다. 모든 변연은 총 차수 합에 2를 기여합니다.
• 나무(트리) 는 사이클이 없는 연결 그래프이며, n개의 정점을 가진 유한 나무는 n - 1개의 변연을 가집니다. 계층 구조 모델에는 나무를 사용하지만, 실제 시스템에는 교차 링크나 사이클이 포함될 수도 있습니다.
• 최단 경로 문제는 단일 제약 조건 하에서 가장 낮은 총 가중치를 갖는 경로를 찾는 것이므로, 단순히 간선 수만 고려하지 않습니다. 반면 최소 신장 트리(MST)는 사이클 없이 모든 정점을 연결하며 포함되는 간선의 총 가중치를 최소화합니다.

해설 예제. 간선 수 대신 총 경로 가중치를 비교하십시오.

알려진 간선 가중치는 AB = 2, BC = 3, AC = 8, CD = 1입니다. A-C-D 경로의 가중치는 9이고, A-B-C-D 경로의 가중치는 6입니다. 따라서 간선이 더 많은 세 개의 간선으로 구성된 경로는 가중치가 더 짧습니다. 이 작은 네트워크의 최소 신장 트리는 AB, BC, CD를 사용하며 총합은 6입니다. 여기서 총합이 일치한다 해서 두 과제가 동일한 것은 아닙니다.

연습지 4.5에는 점진적으로 난이도가 높아지는 문제들과 독립적으로 검증된 해답이 포함되어 있습니다.