GAC016 수학 III: 미적분 및 고등 응용

평균 속도는 모든 순간 속도를 알려주지 않으며, 부호 있는 변위는 항상 총 거리와 같지 않다. 미적분학은 이러한 차이를 명확히 한다.

GAC016는 미분, 적분 및 그 응용을 다룹니다. 귀 기관의 현재 커리큘럼이 평가 과제 및 등급 요건을 결정하며, 본 실습 시트들은 대학 학점 인정이나 공식 시험 패턴을 설정하지 않습니다.

독립 변수, 정의역 및 단위를 명시하십시오. 표기법 $dy/dx$은 x에 대한 미분이며, y 위에 붙은 점은 일반적으로 시간에 대한 미분을 의미합니다. 이 표기법들은 독립 변수가 일치할 때만 동일한 연산을 설명합니다.

응용 문제에서는 주어진 모델에서 속도 또는 누적 값의 의미를 설명하십시오. 초당立方센티미터 3의 부피 변화 속도가 음수라는 것은 부피 자체가 음수임을 뜻하는 것이 아니라, 부피가 해당 속도로 감소함을 의미합니다.

미분은 변화율입니다: $y$이 $x$에 따라 변할 때 그 속도를 나타냅니다. 기하학적으로 이는 그것은 한 점에서의 접선의 기울기입니다.

그 한계값은 정의입니다. 정의를 통한 미분은 비영(h nonzero)에 대한 차분 윗수를 사용한 후 그 한계를 취합니다. 양측 한계가 서로 다를 경우(예: $|x|$의 0에서의 값), 함수가 연속적이더라도 도함수가 존재하지 않습니다.

• ** 거듭제곱 법칙**: 거듭제곱이 미분 가능한 정의역에서: 만약 $y = x^n$이라면 $\dfrac{dy}{dx} = nx^{\,n-1}$입니다.
• 곱의 법칙: $(uv)' = u'v + uv'$입니다.
• 비율의 법칙: $v\ne0$인 곳에서: $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$입니다.
• 연쇄 법칙: 만약 $y = f(g(x))$이라면 $\dfrac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)$입니다.
• 정지점은 $f'(x) = 0$일 때 발생합니다. 이때 이계도함수를 통해 정지점을 분류합니다. 이계도함수가 음수이면 국소 최대값, 양수이면 국소 최소값을 의미합니다. 이계도함수가 0인 경우에는 판별할 수 없으므로 도함수의 부호나 기타 증거를 사용해야 합니다. 정지점 극변점은 극값이 아닐 수도 있습니다.

해설 예제. 접선의 기울기는 TV(전체구간)의 기울기와 다릅니다

주어진 정보: $f(x)=x^2$. x=1과 x=2 사이의 TV의 기울기는 3이지만, x=1에서의 도함수 값은 2입니다.

유한 구간 전체에 대한 평균 기울기는 두 끝점 중 어느 한 곳의 순간 기울기와 같지 않을 수 있습니다.

원본 연습 문제지 3.1를 사용하여该方法, 정의역 및 해석을 해답과 대조하여 검증하십시오.

부정적분은 원함수를 구하는 것입니다. 정적분은 부호가 있는 적분합을 측정하며, 이는 기하학적 면적과 다를 수 있습니다. 피적분함수가 연속일 경우, 미적분의 기본 정리는 정적분을 그 적분구의 상한과 하한에서의 원함수 값의 차이로 연결합니다.

• 부정적분에는 적분구가 없으며 적분상수가 필요합니다. : $\displaystyle\int x^n\,dx = \frac{x^{\,n+1}}{n+1} + c$ for $n \neq -1$.
• 정적분은 적분구를 가지며 하나의 수치를 제공합니다: $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.
• 변수 substitution법은 연쇄 법칙의 역연산입니다.
• ⚠ 부정적분에서 $+c$(적분상수)을 빠뜨리는 것은 해당 모듈에서 가장 자주 잃는 점수이며, 다른 문항은 모두 정답을 맞췄음에도 불구하고 이 부분만 틀리게 됩니다.

해설 예제. 음의 영역과 양의 영역이 서로 상쇄될 수 있습니다

주어진 정보: 음수 1에서 1까지의 $f(x)=x$. 이 정적분의 값은 0입니다. 왜냐하면 음의 기여와 양의 기여가 서로 상쇄되기 때문입니다.

기하학적 면적을 구하려면 두 삼각형 영역의 크기를 더해야 합니다.

원본 연습 문제지 3.2를 사용하여该方法, 정의역 및 해석을 해답과 대조하여 검증하십시오.

• 최적화는 양의 최대값 또는 최소값을 구하는 것: 양을 식으로 작성하십시오. 주어진 유효 도메인 내에서 한 변수의 함수로 미분하고, 후보를 찾아 필요한 최적점을 정당화하십시오. relevant할 경우 포함되는 경계와 정수 제약을 확인하십시오.
• 변화율은 연쇄적으로 연결됩니다: $\dfrac{dV}{dt} = \dfrac{dV}{dr} \times \dfrac{dr}{dt}$.
• 두 곡선 사이의 면적은 $\displaystyle\int_a^b (f(x) - g(x))\,dx$이며, 여기서 $f$는 해당 구간 전체에서 위쪽에 있는 곡선입니다. 순서가 변경될 경우 교차점에서 구분을 나눕니다.
• 한계 비용 및 수익은 주어진 연속적인 비용 및 수익 모델의 도함수입니다. 이들은 즉각적 변화율이지, 자동적으로 정확한 이산 단위 변화를 의미하지는 않습니다.

해설 예제. 고정된 둘레가 하나의 면적을 가변적으로 만듭니다

알고 있음: 직사각형의 둘레가 20이므로, 길이와 너비의 합은 10입니다. 너비를 x라 하면 길이는 $10-x$이며, $0<x<10$입니다.

정지 후보는 $x=5$입니다. 두 영역 끝단에서 $A''(x)=-2<0$과 면적 모두 0에 수렴하므로, 이 후보는 전역 최대값입니다. 이는 5 × 5의 정사각형으로 면적은 25입니다.

원본 연습 시트 3.3을 사용하여该方法, 도메인 및 해석을 해답과 비교하여 검증하십시오.