GAC010 수학 II: 확률, 통계 및 금융

더 낮은 headline rate가 반드시 더 낮은 총액을 산출하는 것은 아니며, 더 큰 표본 조사가 반드시 더 대표성 있는 결과를 제공하지는 않습니다. 수학 II는 이러한 질문을 명시적 규칙, 계산 및 증거 한계로 조사합니다.

GAC010은 수열, 금융, 확률 및 통계를 다룹니다. 귀속 기관의 현재 지시서에 따라 평가 과제, 가중치, 도구 및 마감일이 결정됩니다. 시험, 프로젝트, 시험 및 과제는 서로 다른 지시를 사용할 수 있으며, 본 원본 연습지에는 공식적인 패턴이나 대학 학점이 설정되어 있지 않습니다.

주어진 데이터, 공식이 적용되는 이유, 기호 방정식 및 대입 과정을 제시하십시오. 단위를 명시하고 결과를 해석하십시오. 통계 요약은 정의된 관측 집합이나 명시된 모델을 설명할 뿐이며, 인과관계나 전체집단 전반의 결론을 자동으로 입증하지는 않습니다.

예시에出现的 모든 금리, 수수료 및 지급 규칙은 교육용으로 제작된 조건입니다. 실제 세금 또는 대출 규칙이라고 가정하지 말고, 명시된 시기와 반올림 가정을 따르십시오.

수열은 순서가 정해진 숫자의 나열이며, 급수는 그들의 합입니다.

등차수열은 각 단계마다 고정된 공차 $d$를 더합니다. A 등비수열은 고정된 공비 $r$를 곱합니다.

• 합은 $S_n = \tfrac{n}{2}\left(2a + (n-1)d\right)$이고 $S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}$는 $r \neq 1$에 대해입니다.
• $|r| < 1$인 등비급수는 무한합 $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$을 가집니다.
• 항을 총액과 구분하십시오. 일부 금융 모델은 기하학적으로 복리计算的하지만, 다른 모델은 단순 이자 또는 현금 흐름을 사용합니다. 명시된 규칙에 맞는 모델을 선택하십시오.

해설 예제. 행의 개수가 일정하게 증가함

알려진 정보: 행의 개수는 4, 7, 10이며 동일한 차이를 이어갑니다. 따라서 $a=4$와 $d=3$입니다. 다섯 번째 행의 경우:

첫 five行的 합을 구하려면 다섯 번째 항이 아닌 등차급수 합을 사용하십시오.

연습지 2.1은 해설이 포함된 점층적으로 난이도가 높은 문제들을 제공합니다.

이 단원은 영어로 표현한 일상생활의 산술입니다.

• 총급여는 당신이 번 금액이며, 순급여는 세금 및 보험 같은 공제 항목이 차감된 후 도착하는 금액입니다.
• 단리는 $I = Prt$ — 원금에만 대한 이자입니다.
• 복리는 $A = P(1+r)^n$ — 이자에 대한 이자로, 이로 인해 기하학적(등비)이 됩니다. 기하학적.
• 감가상각은 기록된 가치의 감소를 의미합니다. 고정 비율 모델은 $V_n=V_0(1-r)^n$를 사용하며, 다른 감가상각 관례는 다른 규칙을 사용할 수 있습니다.
• 20% 할인은 0.8을 곱하는 것입니다. 연속하여 20%와 10%의 할인을 applied하면, $0.8 \times 0.9 = 0.72$로 줄어듭니다. 이는 28% 감소를 의미하며, 30% 감소가 아닙니다.

해설 예제. 정규근로시간과 초과근로시간을 별도로 계산

已知: 8시간당 20단위의 정시 근로와 2시간의 초과근무(정시 임금의 1.5배)를 알 때, 합산 전에 두类别를 분리하여 급여를 계산하십시오.

만약 고定的 공제 금액이 15 단위라면, 총급여에서 한 번 차감하십시오.

연습지 2.2는 해설이 포함된 점층적으로 난이도가 높은 문제들을 제공합니다.

• 명시된 일정 할인율 및 시기 가정에 따라 미래 금액의 현재가치는 다음과 같습니다: $PV = \dfrac{FV}{(1+r)^n}$.
• 연금은 정기적인 기간에 지정된 납입금을 가집니다. 대출 상환 일정은 오히려 변하는 금액이나 조정된 최종 납입금을 포함할 수 있으며, 이자가 납입 전인지 후인지 명시해야 합니다.
• APR이라는 명칭은 연율 측정치이며, 그 계산 및 포함되는 비용은 명시된 관례에 따라 달라집니다. 본 연습지는 명시된 APR 관례가 아닌 명확히 정의된 기간율을 사용합니다.
• ⚠ 명목 12% 교육용利率 중 월利率 1%인 경우 유효 연성장률은 $(1.01)^{12}-1\approx12.68\%$입니다. 다른 복리 주기나 수수료 체계는 다른 계산을 필요로 합니다.

해설 예제. 이자 이후 납입, 순서대로

알려진 정보: 초기 잔고 1000 단위, 기간율 2%, 기간 말 납입금 300 단위. 이 관례에 따라 이자는 납입보다 먼저 발생합니다.

다음 기간의 이자는 원금 720을 기준으로 계산되며, 원래 원금은 아닙니다.

연습지 2.3은 해설이 포함된 점층적으로 난이도가 높은 문제들을 제공합니다.

확률은 사건이 발생할 가능성을 0부터 1 사이의 척도로 측정합니다.

• 동등한 가능성이 있는 결과에 대해, $P(A) = \dfrac{\text{favourable outcomes}}{\text{total outcomes}}$입니다.
• 사건들이 상호 배타적일 때 동시에 일어날 수 없습니다: $P(A \text{ or } B) = P(A) + P(B)$입니다.
• 사건들이 독립적일 때 한 사건이 다른 사건에 영향을 주지 않습니다: $P(A \text{ and } B) = P(A) \times P(B)$입니다.
• 보완 규칙, $P(\text{not } A) = 1 - P(A)$,는Often "최소 하나"가 포함된 답에 도달하는 가장 빠른 경로입니다. "최소 하나"를 포함하는 답변.
• 카운팅 기법은 분모를 제공합니다: 순열은 순서 있는 선택을 세고, 조합은 순서 없는 선택을 세고합니다. 선택지 중 조합은 순서를 고려하지 않음.

조건부 확률은 $P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)$입니다 ($P(B)>0$에 대해). 합집합은 겹치는 부분을 뺍니다: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$. 제공된 표에서의_passociation_은 자체적으로 인과관계를 입증하지는 않습니다.

해설 예제. 두 번째 뽑기가 첫 번째에 의존함

알려진 정보: 두 개의 빨간색과 하나의 파란색 마커, 교체 없이 두 번 무작위로 뽑음. 두 개의 빨간색을 얻으려면 빨강-빨강 경로를 따라 그 조건부 확률을 곱하십시오.

첫 번째가 파란색이면 빨간색 마커만 남으므로, 파랑-파랑 경로의 확률은 0입니다. 뽑기는 독립적이지 않습니다.

연습지 2.4는 단계별로 난이도가 높아지는 문제와 풀이 해설을 포함합니다.

• **집단(population)**은 설명하고자 하는 전체 대상이며, **표본(sample)**은 실제로 측정한 대상을 의미합니다. 측정합니다.
• 집단에 대한 추론에는 적절한 **대표성(representative)**을 갖춘 표본과 선택 및 미응답에 대한 정직한 보고가 필요합니다. 한 교실의 설문 조사는 해당 교실을 설명할 수 있으나, 학교 전체의 비율을 보장하지는 않습니다.
• **질적 데이터(qualitative data)**는 범주입니다. **양적 데이터(quantitative data)**는 양을 측정하며,either 이산(discrete)(세어짐) 또는 연속(continuous)(측정됨)일 수 있습니다. 이산(discrete)(세어짐) 또는 연속(continuous)(측정됨).
• **편향(bias)**은 질문 대상, 응답자, 그리고 질문의 wording에 의해 발생하며, 산술 계산만으로는 누락되거나 체계적으로 선택된 관측치를 수정할 수 없습니다.

해설 예제. 막대 높이가 같더라도 빈도가 다를 수 있음을 숨길 수 있음

알고 있음: 0~10 클래스의 빈도는 20, 10~30 클래스의 빈도는 20이다. 폭이 다르므로 빈도 밀도를 계산해야 한다.

두 번째 막대는 높이는 절반이지만 폭은 두 배이다. 두 면적 모두 20개의 관측치를 나타낸다.

연습지 2.5는 단계별로 난이도가 높아지는 문제와 풀이 해설을 포함합니다.

폭이 다른 히스토그램 클래스에서는 막대 면적이 빈도를 나타내도록 높이를 '빈도 ÷ 클래스 폭'으로 설정한다. 범주는 분리된 막대에, 수치적 연속 구간은 히스토그램에 배치한다.

• **평균(mean)**은 총합을 개수로 나눈 값이다. 모든 값과 외란치(outlier)를 모두 반영한다.
• **중간값(median)**은 순서대로 나열했을 때 중앙에 있는 값이다. 극단적인 값을 이동시키되 순서상 중앙이 변하지 않으면 중간값은 그대로일 수 있다.
• **최빈값(mode)**은 가장 빈번하게 나타나는 값이며, 수치 척도를 강요하지 않고도 최빈 범주를 식별할 수 있다. 분포에는 여러 최빈값이 있거나 유일한 최빈값이 없을 수도 있다.
• ⚠ 질문에 맞는 요약 지표를 선택하라. 높은 외란치는 평균을 중간값 위로 끌어올릴 수 있다. 평균은 여전히 관측당 총합을 측정하지만, 중간값은 순서상 중앙을 locating한다. 둘 다 '대부분의 관측치가 그 값과 같다'고 말하지는 않는다.

해설 예제. 그룹 크기가 합산 평균을 결정함

已知: 그룹 A는 10개의 점수로 평균 60이고, 그룹 B는 20개로 평균 75입니다. 합치기 전에 각 그룹의 총점을 복원하십시오.

60과 75의 무가중 평균은 67.5가 되지만, 이는 불균등한 개수를 무시하는 것이다.

연습지 2.6는 단계별로 난이도가 높아지는 문제와 풀이 해설을 포함합니다.

• **범위(range)**는 최대값에서 최소값을 뺀 값——전체 스펙트럼이므로, 외란치가 크게 변화시킬 수 있다.
• **사분위 범위(IQR)**는 명시된 사분위 법칙에 따라 중앙 반분을 포괄하는 차이 $Q_3-Q_1$입니다. 상자 그림은 사분위와 중앙값을 보여주며, 수염(whisker) 규칙을 명시해야 합니다.
• **표준 편차(standard deviation)**는 제곱偏差를 사용하여 퍼짐을 요약한다. 완전한 집단을 위해 사용: $\sigma=\sqrt{\sum(x-\mu)^2/n}$. 표본 추정치는 명시된 규칙 하에 $s=\sqrt{\sum(x-\bar x)^2/(n-1)}$을 사용한다. 분산(s variance)은 제곱 단위를 가지며, 표준 편차는 원래 단위를 가진다.
• 표준 편차가 클수록 퍼짐이 넓다. 두 데이터 세트는 같은 평균을 공유하면서도 완전히 다른 상황을 나타낼 수 있다.

해설 예제. 모든 관측치를 읽기보다 오수 요약(five-number summary)을 읽음

알고 있는 오수 요약: 최소 2, $Q_1=4$, 중간값 6, $Q_3=8$, 최대 12. 전체 스펙트럼과 중앙 반 스펙트럼은 다르다.

상자는 모든 원본 값, 표본 크기, 혹은 퍼짐의 원인을 식별하지 못한다.

연습지 2.7는 단계별로 난이도가 높아지는 문제와 풀이 해설을 포함합니다.

연습지 2.7의 경우, 사분위는 전체 중간값을 제외하고 순서 나열된 반列表의 중간값이다. 수염은 최소값과 최대값까지 이어진다. 이 규칙을 소프트웨어 보간 사분위나 외란치 울타리 수염과 혼동하지 마라.

• **정규 분포(normal distribution)**는 평균과 양의 표준 편차로 지정된 연속 대칭 종 모양 모델이다. 이 두 요약 정보만으로 관측 데이터가 이 모델을 따른다고 보장할 수는 없다.
• 정규 모델 하에서의 근사 경험칙은 다음과 같다: 값의 약 68%는 평균으로부터 표준 편차 1개 이내, 95% 표준 편차 2개 이내, 99.7%는 3개 이내에 위치한다.
• **z-점수(z-score)**는 어떤 값이 평균으로부터 표준 편차 몇 개 떨어져 있는지를 알려준다: $z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$, 이것이 서로 다른 척도를 비교 가능하게 만드는 이유이다.

정규 모델을 위해 누적 면적 $\Phi(z)=P(Z\leq z)$과 대칭 $\Phi(-z)=1-\Phi(z)$을 사용한다. 구간은 두 누적 경계값을 빼서 구한다. 기대 빈도는 표본 크기 × 확률이며, 반드시 정수가 아닐 수 있다; 관측 빈도는 정수이다.

해설 예제. 임계값은 표준화된 값 이상의 영역임

알고 있음: 임의의 측정 모델에서 $\mu=50$과 $\sigma=10$을 가짐. 60보다 큰 값에 대해 임계값을 표준화하라.

제공된 누적 면적의 보완(complement)을 사용하라.

이는 모델 확률이지, 유한 표본에서 정확히 15.87%가 60을 초과한다는 보증이 아니다.

연습지 2.8는 단계별로 난이도가 높아지는 문제와 풀이 해설을 포함합니다.