GAC004 수학 I: 기초 이론

가격이 20% 하락했다가 다시 20% 상승해도 원값으로 돌아오지 않습니다. 수학 I는 이러한 결과를 방법, 단위, 명확한 해석으로 설명하는 데 도움을 줍니다. 여섯 단위는 산술, 대수, 그래프, 기하, 삼각함수 및 지수 모델을 연결합니다.

귀하의 센터(current assessment brief)는 과제의 유형, 배점, 허용 도구 및 마감일 등 공식 지침입니다. 실시간 테스트 는 지정된 교실 조건 아래에서 수행됩니다. 프로젝트 는 데이터 수집, 계산 및 보고서 작성을 포함할 수 있으며, 시험 과 교내 과제 는 서로 다른 지시를 가질 수 있습니다. 이 연습 시트에서 공식 평가 패턴을 유추하지 마십시오.

용어 일지 에는 영어 용어, 본인의 언어로 된 의미, 작은 예시가 기록될 수 있습니다. 센터의 제출 또는 평가 지침에 따르십시오.

명령어를 읽으십시오: solve는 조건을 만족하는 값을 요구하며, simplify는 동등한 식을, justify는 이유를 요구합니다. 결과가 어떻게 도출되었는지 독자가 확인할 수 있도록 유효한 방법을 제시하십시오. 각 과제의 채점 기준은 해당 점수를 결정합니다.

여섯 가지 추가 연습 시트(GAC004 기준에 맞춘 원안)는 공식 시험지가 아닙니다. 해답은 서술형 보고서의 길이가 아닌 명시된 수학적 단계에 점수를 부여합니다.

모든 후속 단원은 수의 어휘를 전제로 합니다.

**정수(integer)**는 음의 정수와 0을 포함한 자연수입니다. **유리수(rational number)**는 be written as a fraction of two integers with a nonzero denominator; an irrational number cannot, and $\pi$ 와 $\sqrt{2}$는 표준적인 예시입니다. 소수란 1보다 큰 양의 정수로서 오직 두 개의 양의 약수인 그 자체와 1만을 가집니다.

**연산 순서(order of operations)**는 필기 식의 의미를 결정합니다: 괄호, 지수, 곱하기와 나누기, 더하기와 빼기 순이며, 같은 단계 내에서는 좌에서 우로 계산합니다. right within a level. 수준 내에서의 정확한 위치입니다.

• 약수는 어떤 수를 나누어 나뉘지 않는 수이며, 배수는 이를 곱하여 얻은 결과입니다. 6는 24의 약수이고, 24는 6의 배수입니다.
• 최대공약수(HCF) 와 최소공배수(LCM) 소인수분해에서 $24 = 2^3 \times 3$과 $36 = 2^2 \times 3^2$이므로, 최대공약수는 $2^2 \times 3 = 12$이고 LCM은 $2^3 \times 3^2 = 72$입니다.
• 백분율은 분모가 100인 분수입니다. 15%의 증가는 곱하기 $1.15$; 15% 감소는 $0.85$배 곱합니다. 백분율 변화를 반대로 만들면 나누어야 하며, 같은 백분율을 다시 빼서는 안 됩니다.
• 유효숫자는 특정 정밀도로 값을 나타내는 데 유지되는 숫자입니다. 유효숫자만으로 측정의 정확성을 결정할 수는 없습니다. $0.004\,072$을 유효숫자 세 자리로 표현하면 $0.004\,07$입니다.
• 표준형은 비영수인 수 $1 \le |a| < 10$와 정수 n을 사용하여 수를 $a \times 10^n$로 표기합니다. 이는 계산기가 매우 크거나 매우 작은 값을 표시합니다.

해설 예제. 감소와 증가는 서로 다른 기준값을 사용합니다

주어진 정보: 발명된 가격 80단위가 20% 감소한 후 20% 증가했습니다. 왜 연속적인 곱셈 인자를 사용해야 합니까? 각 변화는 현재 가격에서 계산됩니다.

가격이 다시 80으로 돌아오지 않습니다. 감소액은 16이었으나, 이후 증가액은 12.8입니다. 기준값이 다르기 때문입니다.

1.1 연습 시트를 계속하세요. 해답을 열기 전에 먼저 풀고, 방법과 최종 단위 모두를 확인하십시오.

대수학은 수를 대신하는 문자를 사용하는 산술이며 고유의 어휘를 가집니다.

$5x^2 - 3x + 7$ 전체는 식이며, $5x^2$, $-3x$ 및 $7$은 그 항입니다. 항; 5은 $x^2$의 계수이고, 7은 상수입니다.

방정식은 두 식이 같음을 나타내며 특정 값에 대해 풉니다. 항등식은 정의역 내 모든 값에 대해 참입니다. 정의역 내 모든 값에 대해 성립합니다. 부등식은 두 식을 $<$으로 비교합니다. $\le$, $>$ 또는 $\ge$.

확장(expand) 하는 것은 괄호를 없애는 것이고, 인수분해(factorise) 하는 것은 다시 괄호를 넣는 것입니다.

• 일차 방정식(linear equation) 을 푸는 것은 문자가 홀로 남을 때까지 양변에 동일한 연산을 수행하는 것입니다. 문자 자체가 독립되어 있습니다.
• 이차 방정식(quadratic equation) 은 $ax^2+bx+c=0$ 형태를 가지며, 여기서 $a\ne0$입니다. 적절할 때는 인수분해하거나, $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$을 사용하십시오.
• 연립방정식(simultaneous equations) 은 두 미지수가 포함된 두 방정식으로, 대입법이나 소거법을 통해 풉니다. 두 일차 방정식의 경우 유일한 해는 두 직선의 교점입니다. 평행한 서로 다른 직선은 해가 없고, 일치하는 직선은 무한히 많은 해를 가집니다. 또는 제거법을 통해 구할 수 있습니다. 두 일차 방정식의 경우, 유일한 해는 두 직선의 교점입니다. 평행한 서로 다른 직선은 해가 없으며, 동일한 직선은 무한히 많은 해를 가집니다.
• ⚠ 부등식의 양변에 음수를 곱하거나 나눌 때 부등호 방향이 반대로 바뀝니다. 예를 들어, $-2x > 6$에서 $x < -3$이 도출됩니다.

해설 예제. 음수로 나눌 때 부등호를 반대로 뒤집으십시오

주어진 정보: $7-3x>1$를 푼다. 양변에서 7을 뺀 후 음수 3으로 나눕니다. 마지막 연산은 부등호의 방향을 바꿉니다.

빈 원은 2를 포함하지 않습니다. $x=1$를 확인해 봅시다: $7-3(1)=4>1$; 경계 $x=2$은 등식을 주지만 제외됩니다.

1.2 연습 시트를 계속하세요. 해답을 열기 전에 먼저 풀고, 방법과 최종 단위 모두를 확인하십시오.

그래프는 방정식을 그림으로 바꾸고, 좌표 기하학은 그 그림을 측정합니다.

수직이 아닌 직선은 $y = mx + c$로 쓸 수 있으며, 여기서 $m$은 기울기(gradients) 이고 $c$은 y절편(y-intercept) y입니다. 기울기는 상승량/이동량입니다. y절편 y입니다. 기울기는 상승분을 진행분으로 나눈 값입니다.

• 서로 다른 수직이 아닌 직선들은 기울기가 같을 때 평행(parallel) 합니다. 두 수직이 아닌 직선이 기울기의 곱이 $-1$일 때 수직(perpendicular) 합니다. 수직선은 기울기가 정의되지 않으며, 수직선과 수평선은 수직입니다.
• 선분의 중점은 양 끝점의 평균이며, 두 점 사이의 거리 은 피타고라스 정리에 의해 구합니다: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
• 이차함수의 그래프는 포물선입니다. 꼭지점은 방향이 바뀌는 점이며, 근은 그래프가 $x$축과 만나는 x값으로, 방정식 $y=0$의 해입니다. 중근은 축을 교차하지 않고 접하며, 일부 이차함수는 실수 근이 없습니다.
• 두 방정식을 그래프적으로(graphically) 풀려면 두 그래프를 그리며 교점의 좌표를 읽습니다. 답은 그림의 정확도만큼만 정확하므로 대수적 검증을 진행하는 것이 중요합니다. 교점을 의미합니다. 답은 그림의 정확도에만 의존하므로 대수적 검증이 중요한 이유입니다. 확인 사항입니다.

해설 예제. 두 주어진 점을 지나는 상승하는 직선

주어진 정보: $A=(1,2)$와 $B=(4,8)$. 직선이 수직이 아니므로 기울기를 사용한다.

직선의 방정식은 $y=mx+c$이다. A의 좌표를 대입하여 절편을 구한다.

따라서 $y=2x$이다. 도면의 수평 변화량은 3, 수직 변화량은 6이다.

1.3 연습지를 계속 풀자. 정답을 열기 전에 먼저 풀고, 풀이 과정과 최종 단위를 모두 확인하라.

평면 기하학은 평평한 도형에 대한 연구이고, 입체 기하학은 3차원 도형에 대한 연구이며, 유리드 기하학은 이 둘을 연결하는 추론 체계이다.

직선 위의 각도의 합은 $180°$, 한 점을 중심으로 하는 각도의 합은 $360°$, 그리고 내부 각들의 합은 유클리드 평면 삼각형에서 $180°$이다. $n$변으로 이루어진 단순 다각형의 내부 각도들은 $(n - 2) \times 180°$의 합을 가진다.

• 동등(congruent) 도형은 크기와 모양이 완전히 같으며, 유사(similar) 도형은 같은 모양을 가지되 모든 길이가 일정한 비율로 비례한다. 동일한 형태를 가지며 한 도형의 모든 길이가 다른 도형의 대응 길이에 대한 하나의 비를 이룬다.
• 피타고라스 정리는 직각삼각형에서 성립한다: $a^2 + b^2 = c^2$, 여기서 $c$는 **대변(hypotenuse)**이다.
• 면적은 제곱 단위로 측정하고 부피는 세제곱 단위로 측정한다. 원기둥은 부피 $\pi r^2 h$; 구는 부피 $\tfrac{4}{3}\pi r^3$와 표면적 $4\pi r^2$를 가진다.
• ⚠ 확대(스케일링)는 선형적이지 않다. 입체의 모든 길이를 두 배로 늘리면 면적은 $2^2 = 4$배, 부피는 $2^3 = 8$배가 된다.

worked example. 삼각기둥은 일정한 단면적을 가지는 경우

주어진 정보: 수직 삼각형의 변은 각각 3cm와 4cm, 기둥의 길이는 10cm이다. 단면적을 구한 후 기둥의 길이로 곱한다.

경사 삼각형 변은 수직 높이가 아니다. 부피는 삼각형 끝면의 면적이 아니다.

1.4 연습지를 계속 풀자. 정답을 열기 전에 먼저 풀고, 풀이 과정과 최종 단위를 모두 확인하라.

삼각함수는 삼각형의 각도와 변의 관계를 연결한다.

직각삼각형에서 $\theta$가 예각 중 하나일 때, 세 가지 비율은 $\sin \theta = \dfrac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}$, $\cos \theta = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}$이며 $\tan \theta = \dfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$.

비퇴화 유클리드 평면 삼각형에 대해 **사인 법칙(sine rule)**과 **코사인 법칙(cosine rule)**이 적용된다:

• 각도는 도(degree) 또는 라디안(radian) 단위로 측정할 수 있으며, $\pi$ 라디안은 $180°$. 계산기 모드를 반드시 확인하십시오.
• **단위 원(unit circle)**은 비율을 $90°$ 범위를 넘어 확장하며, 왜 $\sin$과 $\cos$가 $360°$마다 반복되는지 설명해 준다: 이들은 **주기성(periodic)**을 가진다.
• **방위각(bearing)**은 북쪽에서 시계 방향으로 측정되며 항상 세 자리 숫자로 표기한다. 예를 들어 $075°$와 같다.
• 상승각과 하강각은 수평면으로부터 상향 및 하향으로 각각 측정된다. 답이 지면 위 높이여야 하면 관측자 또는 계측기의 높이를 더한다. 변-변-각(SSA) 조건에서는 사인 법칙이 두 개의 삼각형을 허용할 수 있으므로 보각과 남은 각도 합을 모두 확인해야 한다.

worked example. 수평 거리와 각도를 이용한 높이 구하기

주어진 정보: 수평 거리 $d=12$ m, 상승각 $\theta=30^\circ$. 높이 h는 대변, d는 인접변이므로 도 단위의 탄젠트(tangent)를 사용한다.

이는 관측자의 수평 시선 높이의 차이일 뿐, 반드시 지면에서의 높이를 의미하지는 않는다.

1.5 연습지를 계속 풀자. 정답을 열기 전에 먼저 풀고, 풀이 과정과 최종 단위를 모두 확인하라.

이 두 함수는 증감과 감소를 나타내며 서로 역연산 관계에 있다.

지수함수는 $y=a^x$ 형태의 함수로, $a>0$과 $a\ne1$를 포함하며 변수는 지수에 위치합니다. 단위 구간마다 값이 a배로 증가합니다. $a>1$일 때는 증가하고, $0<a<1$일 때는 감소합니다. y절편은 1이며 값은 항상 양수입니다. x축은 수직 무한대선입니다.

**로그(logarithm)**은 역문제를 답한다. $\log_a y = x$는 정확히 $a^x = y$을 의미하므로, $\log_{10}1000=3$. For real logarithms the argument must be positive, and the base must be positive and different from 1. The graph $y=\log_a x$ passes through $(1,0)$ and has vertical asymptote $x=0$.

• 양수 피연산자와 유효한 같은 바닥(base)에 대해, 법칙은 곱셈을 덧셈으로 바꾼다. 이것이 로그가 지수에 미지수가 포함된 방정식을 푸는 데 유용하게 만드는 이유이다.
• 자연로그는 밑이 $e \approx 2.718$인 로그이며, $\ln$로 표기합니다.
• **복리(compound interest)**는 지수 함수적이며, $n$ 기간 후 $A = P(1 + r)^n$가 된다.
• **지수 감소(exponential decay)**는 0과 1 사이의 바닥을 가지며, 주어진 가정 하에 각 기간마다 남는 비율을 묘사할 수 있다. 실제 과정이 그 모델에 indefinitely 따른다는 것을 보장하지는 않는다.

worked example. 반복된 감소는 고정량 감소가 아니라 곱해진다

주어진 정보: 임의의 양이 100단위로 시작하여 전체 기간마다 20%씩 감소한다. 남는 비율은 0.8이므로 곱하기 모델을 사용한다.

첫 번째 감감은 20 단위이고 두 번째는 16 단위이다. 각 기간마다 고정량 20을 빼는 것은 다른 모델이 될 것이다.

1.6 연습지를 계속 풀자. 정답을 열기 전에 먼저 풀고, 풀이 과정과 최종 단위를 모두 확인하라.