5 · Vectors and transformation geometry

4MA1 주제 5 (규정 Issue 2, 11월 2017). 파운데이션 5.2은 네 가지 전환에 대한 상세 설명 포함; 5.1(벡터)은 고수준 전용이며, notation to resultants, magnitudes and simple geometrical proofs. On the June 2024 고수준 시험에서 벡터 문제(2HR Q25)는 A/A* 급수를 위한 고전적인 마지막 문제이다: 점들이 $\mathbf{a}$와 $\mathbf{b}$로 표현되며, 미지비 $k$를 통해 구해진다. 동일한 벡터를 두 가지 독립적인 방식으로 표현하는 것

5 주제 필수 지식:

** 벡터**는 크기와 방향을 모두 가지며(스칼라는 크기만 가짐). 이를 볼드체 $\mathbf{a}$, 밑줄 그음, 또는 $\overrightarrow{OA}$로 표기함; 열벡터로 $\dbinom{3}{-5}$ — 먼저 오른쪽으로, 위쪽으로 이동함. 스칼라 배수는 신축하며: $2\mathbf{a}$은 길이가 두 배로 길이 및 평행으로 표기; $-\mathbf{a}$는 방향을 반전; $\tfrac12\mathbf{a}$은 크기를 절반으로 줄임.

Addition is tip-to-tail: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ — the route matters, not the stops. Reverse a vector by negating: $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$. 여러 구간들의 합성 벡터는 단일 시작점-종착점 벡터임: $\overrightarrow{OA} = 3\mathbf{a}$과 함께, $\overrightarrow{AB} = 2\mathbf{b}$ 및 $\overrightarrow{BC} = 2\mathbf{c}$ (해당 과목의 자체 예시), 합성 벡터가 됨.

$\dbinom{x}{y}$의 절대값(크기)은 피타고라스 정리에 따른 길이임: $\sqrt{x^2 + y^2}$, 따라서 $\left\lvert \dbinom{3}{-5} \right\rvert = \sqrt{34} \approx 5.83$. Column-vector arithmetic is componentwise: $\dbinom{2}{5} + \dbinom{-1}{3} = \dbinom{1}{8}$.

벡터 증명은 같은 벡터를 두 가지 방식으로 표기하여 평행 또는 반 길이 관계를 보여준다. 방법.

해설 예시. $OABC$는 평행사변형이며, $\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}$과 $\overrightarrow{OC} = \mathbf{c}$를 갖는 평행사변형이며, $M$는 중점인 대각선 $OB$에 대해 대각선이 서로를 이등분함을 증명하시오.

대각선: $\overrightarrow{OB} = \mathbf{a} + \mathbf{c}$ (경로 $O \to A \to B$, 왜냐하면 $\overrightarrow{AB} = \mathbf{c}$가 평행사변형 내의 대각선이기 때문). 따라서 $\overrightarrow{OM} = \tfrac12(\mathbf{a} + \mathbf{c})$. $A$로부터: $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OM} = -\mathbf{a} + \tfrac12(\mathbf{a} + \mathbf{c}) = \tfrac12(\mathbf{c} - \mathbf{a})$이다. 다른 대각선은 $\overrightarrow{AC} = -\mathbf{a} + \mathbf{c} = \mathbf{c} - \mathbf{a}$을 포함하므로, $\overrightarrow{AM} = \tfrac12\overrightarrow{AC}$: $M$도 $AC$의 중점이다. 두 대각선이 동일한 중점을 공유하므로 이등분됨. ✓

2HR 6월 2024 Q25 일련은 두 가지를 요구함: 가장 간단한 형태로 표현된 벡터인 $\tfrac85\mathbf{a} + \tfrac35\mathbf{b}$를 제시한 후, 직선 위의 점에 대한 미지수 $k$을 구하는 것. 이는 하나의 벡터를 두 개의 독립적인 방식으로 서술하고 직선 위의 점으로, 터를 두 가지 독립적인 형태로 적어 계수를 같게 함으로써 구함 계수 $\mathbf{a}$과 $\mathbf{b}$의 것. 아래에 완전한 방법론을 제시함. 원본 예제.

해설 예제: 알 수 없는 비 구하기. 삼각형 $OAB$에서, $\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}$와 $\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}$. $P$이 $AB$ 위에 있으며 $AP : PB = 1 : 2$과, $M$는 $OB$의 중점이다. 직선 $OP$와 $AM$ $Q$에서 만난다. $OQ : OP$을 구하시오.

먼저, $\overrightarrow{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a}$이므로, $\overrightarrow{OP} = \mathbf{a} + \tfrac13(\mathbf{b} - \mathbf{a}) = \tfrac23\mathbf{a} + \tfrac13\mathbf{b}$. $Q$ is on $OP$, 따라서, $\overrightarrow{OQ} = k\left(\tfrac23\mathbf{a} + \tfrac13\mathbf{b}\right)$에 대해 어떤 $k$에 대하여도 성립한다.

$Q$ 또한 $AM$ 위에 있으며, 여기서 $\overrightarrow{AM} = \tfrac12\mathbf{b} - \mathbf{a}$이므로, $\overrightarrow{OQ} = \mathbf{a} + \lambda\left(\tfrac12\mathbf{b} - \mathbf{a}\right) = (1 - \lambda)\mathbf{a} + \tfrac{\lambda}{2}\mathbf{b}$ for some $\lambda$.

계수를 같게 하면: $\mathbf{a}$: $\tfrac23 k = 1 - \lambda$, 그리고 $\mathbf{b}$: $\tfrac13 k = \tfrac12\lambda$이므로 $\lambda = \tfrac23 k$이다. 그러면 $\tfrac23 k = 1 - \tfrac23 k$, giving $k = \tfrac34$ (and $\lambda = \tfrac12$). So $OQ : OP = 3 : 4$, 그리고 $Q$ 또한 $AM$의 중점이다. 점의 위치를 중점으로 가정하지 말고, 반드시 문자를 부여하여 ($k$, $\lambda$)로 설정한 후 계수를 같게 하시오.

회전에는 회전 중심, 각도, 방향(반시계 방향이 양수)이 필요하다. 시계 방향 (반대쪽은 반시계 방향)입니다. 반사에는 대칭선이 필요합니다($x = 1$, $y = 2$, $y = x$, $y - x = 0$)이 필요합니다. 평행이동은 거리와 방향이 필요하며, 열 벡터 $\dbinom{a}{b}$로 표기합니다. 회전, 반사, 평행이동은 길이와 각도를 유지하므로, 像은 원본과 합동입니다.

간단한 경우의 좌표 규칙: $x$축에 대해 반사: $(x, y) \to (x, -y)$; $y$축에 대해 반사: $(x, y) \to (-x, y)$; $y = x$에 대해 반사: $(x, y) \to (y, x)$; $90°$만큼 $O$를 중심으로 반시계 방향으로 회전: $(x, y) \to (-y, x)$; $180°$만큼 회전: $(x, y) \to (-x, -y)$; $\dbinom{a}{b}$만큼 평행이동: $(x, y) \to (x+a, y+b)$. tracing 종이는 나머지 작업을 수행하지만, 설명에는 반드시 모든 필수 요소를 명시해야 합니다.

풀이 예제: 두 변형을 하나로. 삼각형 $T$의 꼭지점은 $(1, 1)$, $(3, 1)$ 및 $(1, 2)$입니다. $T$를 $y = x$에 대해 반사한 후, 결과를 $x$축에 대해 반사합니다. 두 작업을 모두 수행하는 단일 변형을 설명하세요.

일반점을 따름: $(x, y) \to (y, x)$이 $y = x$에 있을 때, 그다음 $(y, x) \to (y, -x)$가 $x$-축에 있음. 따라서 $(1, 1) \to (1, -1)$, $(3, 1) \to (1, -3)$ 및 $(1, 2) \to (2, -1)$. 이는 규칙 $(x, y) \to (y, -x)$는 $(0, 0)$를 중심으로 $90°$만큼 시계 방향으로 회전하는 것입니다. 세 가지 요소(회전, 방향이 포함된 각도, 중심)가 모두 필요하므로 만점을 받습니다. "돌렸다"나 "옮겼다"만으로는 점수를 받을 수 없습니다. 부분(회전, 방향과의 각도, 중심)이 완전한 점수를 위해 필요하며, "회전"이나 "moved"는 점수를 얻지 못합니다.

확대는 확대 중심과 양수 비율 인자(분수 포함, 중심 표시 유무 관계 없음)로 지정됩니다: positive scale factor (fractions included, with or without the centre marked): $(x, y) \to (kx, ky)$ about the origin. Enlargements preserve angles but NOT lengths — 이미지는 합동이 아니라 비슷합니다. 완전한 설명에서는 변환의 종류, 변환 및 모든 매개변수: "$(0, 1)$를 중심으로 $90°$도 반시계 방향으로 회전" "reflection in the line $y = x$"; "translation by $\dbinom{3}{-2}$"; "enlargement, scale factor 2, centre $(1, 1)$". Missing the centre or direction loses the mark.

• 벡터 기호, 세로 벡터, 스칼라 곱 및 성별 분할 더하기/빼기 사용 (H 5.1 A–D).
• 경로를 따라 합성 벡터 구하기; 부호 반전하여 역산 (H 5.1 F).
• 피타고라스 정리에 의한 크기 계산 (H 5.1 E; 예시 (3, −5) → √34).
• 중점, 평행 및 비례 사실을 벡터를 두 가지 독립적인 방식으로 표현하여 증명 – 중점을 가정하지 말 것 (H 5.1 G; June 2024 2HR Q25).
• 세로 벡터를 사용하여 회전, 대칭 및 평행이동 수행; 합동 보존 명시 (F 5.2 A–I).
• 중심과 확대 배율(분수 포함)로 확대; 모든 변환 설명 (F 5.2 J–M).

경계 참고 사항: 이 수준의 벡터는 두 차원이며 양의 비율을 사용함 단위. 음의 확대 배율은 후속 학습 대상. 기초 과정 지원자는 5.2 충족 단위. 풀이 예시는 검토된 June 2024 고등 시험지 또는 원본에서 변형됨 (메타 평가 증거 참조); 시트 문제는 라벨이 없는 한 원본임.